行列式の内在的定義

定理 6.3（「テンソル積と外積代数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\dim V=n\ge1$ 、 $T:V\to V$ を線形写像とする。 $\Lambda^nV$ は 1 次元で、 $\Lambda^nT$ は $\Lambda^nV$ 上のスカラー倍写像である。そのスカラーを $\det T$ と書くと、次が成り立つ。

$T$ の任意の基底に関する表現行列 $A$ に対し、 $\det T=\det A$ （ライプニッツの公式（定義 3.1）［行列式とその性質］）。とくに基底の取り方によらない。
$\det(ST)=\det S\det T$ 、 $\det\mathrm{id}=1$ 。
$\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ が基底のとき、 $T\boldsymbol{e}_1,\ldots,T\boldsymbol{e}_n$ が基底であることは $\det T\ne0$ と同値。すなわち $T$ が可逆であることと $\det T\ne0$ は同値である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外積冪の基底✓定理 5.3・テンソル積と外積代数
- 外積の基本性質✓命題 5.2・テンソル積と外積代数（上で展開済み）
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
外積の基本性質✓命題 5.2・テンソル積と外積代数
- 線形版の準同型定理✓定理 4.3・双対空間と商空間
  - 商空間定義 4.1・双対空間と商空間
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。