テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する

0. この記事の要点

2 つのベクトルを受け取って、それぞれについては「足し算と定数倍が通る」（たとえば内積や行列の積のような）計算は、線形代数のあちこちに出てきます。ただ、そのままでは 1 つのベクトルの線形変換と同じようには扱えません。この記事では、2 つのベクトルの「組」を 1 つのベクトルとして扱える新しい空間（テンソル積）を作り、そのような計算を普通の線形変換として扱えるようにします。読み終えると、行列式を「向きと体積の倍率」として定義し直し、$\det(AB)=\det A\det B$ が短い議論で出ることが分かります。

• 2 つのベクトル空間 $V,W$ のテンソル積 $V\otimes W$ は、「$V\times W$ 上の双線形写像」（2 つの変数それぞれについて線形な写像）を「$V\otimes W$ 上の線形写像」に一対一で置き換えるための空間です。この性質（普遍性。どんな双線形写像もこの空間を経由してただ一通りに分解できる、という性質）で定義すると、構成の仕方によらず同型を除いて一意に決まります。
• $V,W$ の基底を $\boldsymbol{e}_i$、$\boldsymbol{f}_j$ とすると、$\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_j$ が $V\otimes W$ の基底で、$\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W$ です。成分表示では、$\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}$ は行列 $\boldsymbol{v}\boldsymbol{w}^{\mathsf{T}}$ であり、「純テンソルである」ことは「階数が $1$ 以下」と同値です（$\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{f}_2$ は純テンソルでない — 量子力学の「もつれ」）。
• 線形写像のテンソル積 $S\otimes T$ の表現行列はクロネッカー積（行列 $A$ の各成分に行列 $B$ を掛けたブロックを並べた大きな行列）で、$\operatorname{tr}(S\otimes T)=\operatorname{tr}S\cdot\operatorname{tr}T$ です。
• $V^{\otimes k}$ には対称群が作用します。不変なテンソルの空間 $\operatorname{Sym}^kV$ の次元は $\binom{n+k-1}{k}$、交代的な積で割った外積 $\Lambda^kV$ の次元は $\binom{n}{k}$ です。
• $\dim V=n$ のとき $\Lambda^nV$ は 1 次元で、線形変換 $T$ が $\Lambda^nV$ に引き起こす倍率が $\det T$ です。これを行列式の定義にすると、$\det(ST)=\det S\det T$ は外積の関手性（合成した写像が、それぞれの写像から誘導される写像の合成になること）から一行で従います。

この記事で使う事前知識

• 基底と次元: ベクトル空間の元を一意に表す線形独立な生成系が基底で、その個数が次元。→ 次元
• 線形写像: 足し算と定数倍を保つ写像。→ 線形写像
• 表現行列: 基底を決めたとき、線形写像を表す行列。→ 表現行列
• 行列式: 置換の符号つき和で定まる、正方行列に対する値。→ 行列式
• 双対基底: 基底 $\boldsymbol{e}_i$ に対し、$\boldsymbol{e}_j$ では $\delta_{ij}$ の値をとる線形形式の組。→ 双対空間と商空間
• 商空間: 部分空間の元を 0 とみなしてできる空間。→ 商空間

1. 動機 — 双線形なものを線形に扱いたい

内積 $\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\sum x_iy_i$、行列の積 $(A,B)\mapsto AB$、3 次元ベクトルの外積 $\boldsymbol{x}\times\boldsymbol{y}$、行列式（列ベクトルを $n$ 個与えると決まる値）など、線形代数には各変数について線形な写像が繰り返し現れます。これらは $V\times W$ から値を取る写像としては線形ではありません（$(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})\mapsto\langle\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle$ は $2(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})$ では値が 4 倍になります）。線形代数の道具（核・像・基底・次元）は線形写像に対して使えるものですから、双線形写像も 1 つの線形写像として扱えれば便利です。

その装置がテンソル積です。もう少し具体的な動機が 2 つあります。

複合系。 量子力学では、2 つの系 $A,B$ の状態空間がそれぞれ $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ のとき、合成系の状態空間は直積ではなくテンソル積 $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ です。次元が $\dim\mathcal{H}_A+\dim\mathcal{H}_B$ ではなく積になることが、量子状態の指数的な複雑さの源です。無限次元への拡張（ヒルベルト空間のテンソル積）は ヒルベルト空間のテンソル積と直積分 で扱われます。

微分形式・多粒子系。 多様体上の $k$ 次微分形式は、各点で $k$ 個の接ベクトルを受け取り、並べ替えると符号が変わる多重線形形式 — つまり外積代数の元（微分形式）です。フェルミ粒子の多粒子状態の空間は、1 粒子空間の外積代数として現れ、ボース粒子では対称テンソルが現れます。

さらに、この記事の最後には、行列式に対する新しい見方があります。行列式とその性質 では、行列式を置換の和で定義し、多重線形性と交代性で特徴づけました。外積代数では、その「多重線形で交代的」という性質が定義そのものになり、$\det(AB)=\det A\det B$ が証明らしい証明なしに出ます。体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間を扱います。

2. 多重線形写像

定義 2.1（多重線形写像）↗

$V_1,\ldots,V_k,W$ を $K$ 上のベクトル空間とする。写像 $B:V_1\times\cdots\times V_k\to W$ が多重線形（$k$ 重線形、$k=2$ のとき双線形）であるとは、各 $s$ について、他の変数を固定したとき $\boldsymbol{v}_s\mapsto B(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_s,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ が線形であることをいう。

例 2.2（多重線形写像の例）

1. 実内積 $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$。複素内積は第 2 変数が共役線形なので双線形ではない。
2. 行列の積 $M_{m,n}(K)\times M_{n,p}(K)\to M_{m,p}(K)$ は双線形。
3. 評価 $V^{*}\times V\to K$、$(f,\boldsymbol{v})\mapsto f(\boldsymbol{v})$ は双線形。
4. 行列式を列の関数と見る $(K^n)^n\to K$ は $n$ 重線形（多重線形性と交代性（定義 4.1）［行列式とその性質］）。

多重線形写像は、基底の組での値だけで決まり、しかも値は自由に与えられます。

補題 2.3（多重線形写像の基底による決定）✓

$V_s$ の基底を $(\boldsymbol{e}^{(s)}_i)_{1\le i\le n_s}$ とする。任意のベクトル $\boldsymbol{w}_{i_1\cdots i_k}\in W$（各 $1\le i_s\le n_s$）に対し、

$$B(\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1},\ldots,\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k})=\boldsymbol{w}_{i_1\cdots i_k}$$

を満たす多重線形写像 $B$ がただ一つ存在する。$\boldsymbol{v}_s=\sum_ix^{(s)}_i\boldsymbol{e}^{(s)}_i$ に対し

$$B(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)=\sum_{i_1,\ldots,i_k}x^{(1)}_{i_1}\cdots x^{(k)}_{i_k}\,\boldsymbol{w}_{i_1\cdots i_k}.$$

証明（補題 2.3）

$B$ が多重線形なら、各変数を基底で展開して順に線形性を使うことで上の公式が従い（一意性）、とくに $B$ は値 $\boldsymbol{w}$ から決まります。逆に右辺で $B$ を定めると、座標 $x^{(s)}_i$ は $\boldsymbol{v}_s$ の線形関数ですから、$B$ は各変数について線形で、基底の組での値は $\boldsymbol{w}_{i_1\cdots i_k}$ になります（存在）。

∎

3. テンソル積の普遍性

多重線形写像の全体を、ただ 1 つの線形写像の全体として扱いたい。それができる「共通の窓口」が次の性質です。

先に具体例を見ておきます。$V=W=\mathbb{R}^2$ の標準基底を $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ とすると、内積 $B(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=v_1w_1+v_2w_2$ は双線形で、基底の組での値は $B(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_1)=B(\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_2)=1$、$B(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)=B(\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_1)=0$ です。テンソル積は 4 次元の空間で、$\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{e}_j$（4 本）を基底とします。この 4 本をそれぞれ $1,0,0,1$ に写す線形写像を 1 つ決めると、それが $B$ に対応する線形写像 $\tilde B$ です。次の定義は、どんな双線形写像についてもこのように「基底の値を決めて線形に延ばす」ことができ、しかもそれがただ一通りだ、という性質を要請しています。

定義 3.1（テンソル積（普遍性による定義））↗

$V_1,\ldots,V_k$ を $K$ 上のベクトル空間とする。ベクトル空間 $T$ と多重線形写像 $\otimes:V_1\times\cdots\times V_k\to T$ の組 $(T,\otimes)$ が $V_1,\ldots,V_k$ のテンソル積であるとは、次の普遍性を満たすことをいう。

任意のベクトル空間 $W$ と任意の多重線形写像 $B:V_1\times\cdots\times V_k\to W$ に対し、$B=\tilde B\circ\otimes$ を満たす線形写像 $\tilde B:T\to W$ がただ一つ存在する。

$T$ を $V_1\otimes\cdots\otimes V_k$、$\otimes(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ を $\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k$ と書く。この形の元を純テンソル（分解可能なテンソル）という。

テンソル積の普遍性。双線形写像 B は、V×W から V⊗W への共通の写像 ⊗ と、線形写像 B~ の合成にただ一通りに分解される。

定義の意味は、上の例で $B$ から $\tilde B$ が決まったことの一般化です。普遍性を要請する利点は、構成法に依存しない（以下で一意性を示します）ことと、「定義」としてすぐ使えることです。「$V\otimes W$ から $U$ への線形写像を作る」ためには、双線形写像 $V\times W\to U$ を 1 つ与えれば足ります。

次の定理では、存在は「基底の組ごとに記号を 1 つ用意して空間を作る」ことで、一意性は「同じ普遍性を持つ 2 つの空間の間に、互いに逆な写像を作る」ことで示します。

定理 3.2（テンソル積の存在・一意性・基底）✓

$V_1,\ldots,V_k$ を有限次元とし、$V_s$ の基底を $(\boldsymbol{e}^{(s)}_i)_{i\le n_s}$ とする。

1. （存在・基底）テンソル積 $(T,\otimes)$ が存在し、$\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k}$ は $T$ の基底をなす。とくに $\dim T=n_1\cdots n_k$。
2. （一意性）$(T,\otimes)$ と $(T',\otimes')$ がともにテンソル積ならば、$\phi\circ\otimes=\otimes'$ を満たす線形同型 $\phi:T\to T'$ がただ一つ存在する。

証明（定理 3.2）

存在。 添字の組 $I=(i_1,\ldots,i_k)$ ごとに記号 $E_I$ を用意し、これらを基底とするベクトル空間 $T$（次元 $n_1\cdots n_k$）を作ります。補題 2.3 により、値 $\otimes(\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1},\ldots,\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k})=E_I$ を満たす多重線形写像 $\otimes:V_1\times\cdots\times V_k\to T$ が一意に存在します。すなわち $\otimes(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)=\sum_Ix^{(1)}_{i_1}\cdots x^{(k)}_{i_k}E_I$ です。

普遍性を示します。多重線形写像 $B:V_1\times\cdots\times V_k\to W$ が与えられたとき、$T$ の基底の像を $\tilde B(E_I)=B(\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1},\ldots,\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k})$ と定めて線形に拡張した $\tilde B$ を考えると、補題 2.3 の公式から

$$\tilde B(\otimes(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k))=\sum_Ix^{(1)}_{i_1}\cdots x^{(k)}_{i_k}B(\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1},\ldots,\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k})=B(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$$

です。一意性: $B=\tilde B\circ\otimes$ なら $\tilde B(E_I)=B(\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1},\ldots)$ が強制されるので、基底の像を決めた線形写像として一意です。

一意性。 $(T',\otimes')$ に普遍性を $B=\otimes'$ で使い、$\phi\circ\otimes=\otimes'$ の線形写像 $\phi:T\to T'$ を得ます。同様に $\psi:T'\to T$、$\psi\circ\otimes'=\otimes$。すると $(\psi\phi)\circ\otimes=\otimes=\mathrm{id}_T\circ\otimes$ で、$(T,\otimes)$ の普遍性（$B=\otimes$ に対する $\tilde B$ の一意性）から $\psi\phi=\mathrm{id}_T$、対称に $\phi\psi=\mathrm{id}_{T'}$ です。

基底。 存在の構成で得た $(T,\otimes)$ では主張は成立しており、一意性の同型 $\phi$ は純テンソルを純テンソルに写すので、どのテンソル積でも $\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k}$ が基底です。

∎

以後、$V_1\otimes\cdots\otimes V_k$ をこのテンソル積の（同型を除いた）代表とします。基底の選び方に依存しない特徴づけで定めたので、基底を取り替えても同じ空間です。

注意 3.3

無限次元でも、$V\times W$ を基底とする自由ベクトル空間を、双線形性を表す元で生成された部分空間で割った商（商空間（定義 4.1）［双対空間と商空間］）としてテンソル積が構成され、普遍性が成り立ちます。この記事は有限次元で完結させます。

命題 3.4（テンソルの基本計算）✓

$V,W$ を有限次元とする。

1. 純テンソルは $V\otimes W$ を張る。$(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}')\otimes\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}+\boldsymbol{v}'\otimes\boldsymbol{w}$、$(c\boldsymbol{v})\otimes\boldsymbol{w}=c(\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w})=\boldsymbol{v}\otimes(c\boldsymbol{w})$ が成り立つ。
2. $\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}=0$ であることは、$\boldsymbol{v}=0$ または $\boldsymbol{w}=0$ と同値である。
3. $V\otimes W\to W\otimes V$、$\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}\mapsto\boldsymbol{w}\otimes\boldsymbol{v}$ は線形同型である。

証明（命題 3.4）

1. 後半は $\otimes$ の双線形性です。前半は 定理 3.2 の基底 $\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_j$ が純テンソルであることからです。2. $\boldsymbol{v}=\sum x_i\boldsymbol{e}_i$、$\boldsymbol{w}=\sum y_j\boldsymbol{f}_j$ なら $\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}=\sum x_iy_j\,\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_j$ で、基底の線形独立性から、これが $0$ であることはすべての積 $x_iy_j$ が $0$ であること、つまり $\boldsymbol{x}=0$ または $\boldsymbol{y}=0$ と同値です。3. $(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})\mapsto\boldsymbol{w}\otimes\boldsymbol{v}$ は双線形なので、普遍性により $V\otimes W\to W\otimes V$ が定まります。逆向きも同様に定まり、純テンソルでの合成が恒等なので互いに逆です。

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次の同型は、「テンソル積とは何か」を具体的な線形代数の対象につなぎます。

定理 3.5（テンソル積と線形写像・双対空間）✓

$V,W$ を有限次元とする。

1. $\Phi:V^{*}\otimes W\to\operatorname{Hom}(V,W)$、$\Phi(f\otimes\boldsymbol{w})(\boldsymbol{v})=f(\boldsymbol{v})\boldsymbol{w}$ は線形同型である。
2. $\Psi:V^{*}\otimes W^{*}\to(V\otimes W)^{*}$、$\Psi(f\otimes g)(\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w})=f(\boldsymbol{v})g(\boldsymbol{w})$ は線形同型である。

証明（定理 3.5）

1. 各 $(f,\boldsymbol{w})$ に対し $L_{f,\boldsymbol{w}}(\boldsymbol{v})=f(\boldsymbol{v})\boldsymbol{w}$ は線形写像で、$(f,\boldsymbol{w})\mapsto L_{f,\boldsymbol{w}}$ は双線形です。普遍性により線形写像 $\Phi$ が定まります。$V$ の基底 $\boldsymbol{e}_i$、$W$ の基底 $\boldsymbol{f}_j$、双対基底 $e^{i}$ に対し、$\Phi(e^{i}\otimes\boldsymbol{f}_j)$ は $\boldsymbol{e}_i\mapsto\boldsymbol{f}_j$、$\boldsymbol{e}_l\mapsto0$（$l\ne i$）で決まる写像で、これは 線形写像と行列の対応（定理 3.2）［行列と連立一次方程式］ の行列単位に対応します。$\operatorname{Hom}(V,W)$ の基底をなすので、$\Phi$ は基底を基底に写し、同型です。
2. $\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}\mapsto f(\boldsymbol{v})g(\boldsymbol{w})$ は双線形写像 $V\times W\to K$ なので、普遍性により $(V\otimes W)^{*}$ の元が定まり、$(f,g)\mapsto$ それ、も双線形です。よって $\Psi$ が定まります。$\Psi(e^{i}\otimes f^{j})$ は基底 $\boldsymbol{e}_l\otimes\boldsymbol{f}_m$ に $\delta_{il}\delta_{jm}$ を与えるので、$\boldsymbol{e}_l\otimes\boldsymbol{f}_m$ の双対基底です。基底を基底に写すので同型です。

∎

1 は、行列 $A=(a_{ij})$ を「基本テンソル $e^{j}\otimes\boldsymbol{f}_i$ の線形結合」$\sum a_{ij}\,e^{j}\otimes\boldsymbol{f}_i$ と読む見方を与えます。たとえば恒等写像は $\sum_ie^{i}\otimes\boldsymbol{e}_i$ です。

線形写像のテンソル積も、普遍性で定義できます。

定義 3.6（線形写像のテンソル積）↗

$S:V\to V'$、$T:W\to W'$ を線形写像とする。双線形写像 $(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})\mapsto S\boldsymbol{v}\otimes T\boldsymbol{w}$ に普遍性を使って得られる線形写像

$$S\otimes T:V\otimes W\to V'\otimes W',\qquad(S\otimes T)(\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w})=S\boldsymbol{v}\otimes T\boldsymbol{w}$$

を $S$ と $T$ のテンソル積という。

純テンソルが全体を張るので、$(S\otimes T)(S'\otimes T')=SS'\otimes TT'$ が純テンソルへの作用の比較から従います。

命題 3.7（クロネッカー積）✓

$S:V\to V$、$T:W\to W$ の基底 $(\boldsymbol{e}_i)_{i\le m}$、$(\boldsymbol{f}_k)_{k\le n}$ に関する表現行列をそれぞれ $A=(s_{ij})$、$B=(t_{kl})$ とする。$V\otimes W$ の基底 $\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_k$ に関する $S\otimes T$ の表現行列の $((i,k),(j,l))$ 成分は $s_{ij}t_{kl}$ である（これを $A\otimes B$、クロネッカー積という。添字の組を辞書式に並べると、$m\times m$ 個のブロックのうち $(i,j)$ ブロックが $n\times n$ 行列 $s_{ij}B$ となる）。さらに

$$\operatorname{tr}(S\otimes T)=\operatorname{tr}S\cdot\operatorname{tr}T,$$

$S\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$、$T\boldsymbol{w}=\mu\boldsymbol{w}$ ならば $(S\otimes T)(\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w})=\lambda\mu\,\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}$ である。

証明（命題 3.7）

$(S\otimes T)(\boldsymbol{e}_j\otimes\boldsymbol{f}_l)=S\boldsymbol{e}_j\otimes T\boldsymbol{f}_l=\sum_{i,k}s_{ij}t_{kl}\,\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_k$ から成分が読み取れます。対角成分は $(i,k)=(j,l)$ のときで $\sum_{i,k}s_{ii}t_{kk}=\operatorname{tr}S\operatorname{tr}T$。固有ベクトルの主張は定義からです。

∎

例 3.8（クロネッカー積の例）

$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ のとき

$$A\otimes B=\begin{pmatrix}1\cdot B&2\cdot B\\0\cdot B&3\cdot B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&3&0\end{pmatrix}$$

で、$\operatorname{tr}(A\otimes B)=0=\operatorname{tr}A\cdot\operatorname{tr}B=4\cdot 0$。$A$ の固有値は $1,3$、$B$ の固有値は $\pm1$ です。命題 3.7 の固有ベクトルの主張により、固有値 $1\cdot1,1\cdot(-1),3\cdot1,3\cdot(-1)$ に対応する固有ベクトルが 4 本得られ、これらは $A\otimes B$ の固有ベクトルの基底をなします（異なる固有値の固有ベクトルの独立性（定理 5.2）［固有値と固有ベクトル］）。

最後に、純テンソルとそうでないテンソルの区別を行列の階数で記述します。$V\otimes W$ の元 $t=\sum_{i,j}a_{ij}\,\boldsymbol{e}_i\otimes\boldsymbol{f}_j$ に対し、係数行列 $M(t)=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ を対応させます。

命題 3.9（純テンソルと階数）✓

$t\in V\otimes W$ について、次は同値である。

1. $t$ は純テンソル、すなわち $t=\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}$ と書ける。
2. $\operatorname{rank}M(t)\le1$。

この階数 $\operatorname{rank}M(t)$ は基底の取り方によらず、$t$ をテンソルとしての階数という。

証明（命題 3.9）

$\boldsymbol{v}=\sum x_i\boldsymbol{e}_i$、$\boldsymbol{w}=\sum y_j\boldsymbol{f}_j$ なら $M(\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w})=\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\mathsf{T}}$（列ベクトルと行ベクトルの積）で、階数 $1$ 以下です。逆に階数 $1$ 以下の行列は、ある列ベクトル $\boldsymbol{x}$ と行ベクトル $\boldsymbol{y}^{\mathsf{T}}$ により $\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}^{\mathsf{T}}$ と書けます。階数の基底不変性は次のとおりです。基底を $\boldsymbol{e}'_i=\sum_kp_{ki}\boldsymbol{e}_k$、$\boldsymbol{f}'_j=\sum_lq_{lj}\boldsymbol{f}_l$（$P,Q$ は正則）に取り替えると $\boldsymbol{e}'_i\otimes\boldsymbol{f}'_j=\sum_{k,l}p_{ki}q_{lj}\,\boldsymbol{e}_k\otimes\boldsymbol{f}_l$ なので、新しい係数行列 $M'$ と元の $M$ の間には $M=PM'Q^{\mathsf{T}}$ が成り立ちます。正則行列を左右から掛けても階数（像の次元）は変わりません。

∎

例 3.10（純テンソルでないもの）

$t=\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{f}_1+\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{f}_2$ の係数行列は $I_2$（階数 $2$）なので、純テンソルでありません。実際、$\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}=t$ とすると $x_1y_2=0$ かつ $x_1y_1=1$ より $y_2=0$ ですが、$x_2y_2=1$ に矛盾します。量子力学では、合成系の状態が純テンソルであることは「2 つの系が独立（相関がない）」ことで、純テンソルでない状態をもつれた状態といいます。係数行列の階数 $2$ が、もつれの度合い（シュミット階数）です。

4. 対称テンソル

$V^{\otimes k}=V\otimes\cdots\otimes V$（$k$ 個）とし、$V^{\otimes0}=K$、$V^{\otimes1}=V$ とします。$\dim V=n$ のとき、定理 3.2 より $\dim V^{\otimes k}=n^k$ です。$k$ 次対称群 $S_k$（置換とその符号（定義 2.1）［行列式とその性質］）は、成分の並べ替えとして $V^{\otimes k}$ に作用します。

定義 4.1（置換の作用と対称テンソル）↗

$\sigma\in S_k$ に対し、多重線形写像 $(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)\mapsto\boldsymbol{v}_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_{\sigma^{-1}(k)}$ に普遍性を使って得られる線形写像を $\sigma\cdot:V^{\otimes k}\to V^{\otimes k}$ と書く。$(\sigma\tau)\cdot=\sigma\cdot(\tau\cdot)$ が成り立つ。すべての $\sigma\in S_k$ に対して $\sigma\cdot t=t$ を満たす $t\in V^{\otimes k}$ を対称テンソルといい、その全体を $\operatorname{Sym}^kV$ と書く。

$(\sigma\tau)\cdot=\sigma\cdot(\tau\cdot)$ は、$\tau\cdot(\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k)$ の第 $i$ 成分が $\boldsymbol{v}_{\tau^{-1}(i)}$ であり、それに $\sigma$ を作用させると第 $i$ 成分が $\boldsymbol{v}_{\tau^{-1}(\sigma^{-1}(i))}=\boldsymbol{v}_{(\sigma\tau)^{-1}(i)}$ になることから、純テンソルで確かめられます。

次の命題は、対称テンソルの次元を数える問題を、「$1,\ldots,n$ から重複を許して $k$ 個取る取り方の数え上げ」に言い換えて解きます。ここで軌道とは、置換で互いに移り合う添字の組をひとまとめにしたもののことです。

命題 4.2（対称テンソルの次元）✓

$\dim V=n$ のとき $\dim\operatorname{Sym}^kV=\dbinom{n+k-1}{k}$ である。

証明（命題 4.2）

$V$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ に対し、添字の組 $I=(i_1,\ldots,i_k)$ の基本テンソル $E_I=\boldsymbol{e}_{i_1}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{e}_{i_k}$ は $V^{\otimes k}$ の基底です。置換は基本テンソルを基本テンソルに写し（$\sigma\cdot E_I=E_{I\circ\sigma^{-1}}$）、$t=\sum_Ic_IE_I$ に対して $\sigma\cdot t=\sum_Ic_{I\circ\sigma}E_I$ です。したがって $t$ が対称であることは、係数 $c_I$ が $S_k$ の作用による添字の組の軌道ごとに一定であることと同値です。軌道は「$1,\ldots,n$ から重複を許して $k$ 個取った組合せ」（重複組合せ）と 1 対 1 に対応します。$1\le j_1\le\cdots\le j_k\le n$ を $j_s+s-1$ に置き換えると $1,\ldots,n+k-1$ から $k$ 個取る組合せと対応するので、軌道の個数は $\binom{n+k-1}{k}$ で、これが対称テンソルの空間の次元です。

∎

たとえば $n=2,k=2$ なら $\dim\operatorname{Sym}^2V=3$ で、基底は $\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{e}_1$ です。これは「2 変数の 2 次の同次多項式 $x^2,y^2,xy$ の空間」と同じ次元です。

5. 外積代数

対称テンソルの交代版を作ります。「同じものを 2 回並べたら 0」という性質を課すために、割る側からのやり方（商空間）を使うと、あらゆる体で通用し、行列式との関係も見通しがよくなります。

定義 5.1（外積冪）↗

$V^{\otimes k}$（$k\ge2$）の部分空間 $I_k$ を、ある $i<j$ について $\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{v}_j$ となる純テンソル $\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k$ 全体で張られる部分空間とし、$I_0=I_1=0$ とおく。商空間

$$\Lambda^kV=V^{\otimes k}/I_k$$

を $V$ の $k$ 次外積冪といい、$\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$ で $\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k$ の類を表す。また多重線形写像 $B:V^{k}\to W$ が交代的であるとは、2 つの引数が等しければ $B=0$ となることをいう。

命題 5.2（外積の基本性質）✓

1. （普遍性）任意の交代的な多重線形写像 $B:V^{k}\to W$ に対し、$\bar B(\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k)=B(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ を満たす線形写像 $\bar B:\Lambda^kV\to W$ がただ一つ存在する。
2. $\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_{\sigma(k)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\,\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$（$\sigma\in S_k$）。とくに隣り合う 2 つを入れ替えると符号が変わる。
3. $\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ が線形従属ならば $\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k=0$。

証明（命題 5.2）

1. $B$ に対応する線形写像 $\tilde B:V^{\otimes k}\to W$ は、$I_k$ の生成元（2 引数が等しい純テンソル）で $0$ なので、$I_k$ 全体で $0$ です。したがって 線形版の準同型定理（定理 4.3）［双対空間と商空間］ の 1 により $\bar B:\Lambda^kV\to W$ が定まります。一意性は、$\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$ が $\Lambda^kV$ を張ることからです。
2. 交代的 $k$ 重線形写像 $B$ について、$i<j$ の位置に $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}$ を入れて展開すると $0=B(\ldots,\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\ldots,\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\ldots)=B(\ldots\boldsymbol{x}\ldots\boldsymbol{y}\ldots)+B(\ldots\boldsymbol{y}\ldots\boldsymbol{x}\ldots)$（$\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}$ の項は 0）。したがって引数の 2 つを入れ替えると符号が変わります。$\wedge$ を $\Lambda^kV$ 値の写像とみれば（その交代性は定義からです）これが成り立ち、$\sigma$ は互換の積として書けるので（符号の基本性質（補題 2.2）［行列式とその性質］ の 4）、符号 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ が出ます。
3. たとえば $\boldsymbol{v}_k=\sum_{s<k}c_s\boldsymbol{v}_s$ とすると、多重線形性により $\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_{k-1}\wedge\boldsymbol{v}_k=\sum_sc_s\,\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_{k-1}\wedge\boldsymbol{v}_s$ で、各項は $\boldsymbol{v}_s$ が 2 回現れて $0$ です。一般の線形従属は 2 により並べ替えて同じ形にできます。

∎

定理 5.3（外積冪の基底）✓

$\dim V=n$、$(\boldsymbol{e}_i)$ をその基底とする。$1\le k\le n$ のとき

$$\boldsymbol{e}_{i_1}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{i_k}\qquad(1\le i_1<\cdots<i_k\le n)$$

は $\Lambda^kV$ の基底で、$\dim\Lambda^kV=\dbinom{n}{k}$ である。$k>n$ では $\Lambda^kV=0$。

証明（定理 5.3）

生成性。 $\Lambda^kV$ は $\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$ で張られ、各 $\boldsymbol{v}_s$ を基底で展開すると多重線形性により $\boldsymbol{e}_{i_1}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{i_k}$ の線形結合になります。添字に重複があれば 命題 5.2 の 3（線形従属）より $0$、重複がなければ 命題 5.2 の 2 により単調増加の並びから符号を除いて同じです。よって増加列に対応する元で張られます。とくに $k>n$ では増加列がなく、$\Lambda^kV=0$ です。

線形独立性。 増加列の集合 $J=\{j_1<\cdots<j_k\}$ に対し、$\boldsymbol{v}_s=\sum_ix^{(s)}_i\boldsymbol{e}_i$ として

$$B_J(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)=\det\bigl(x^{(s)}_{j_t}\bigr)_{t,s=1,\ldots,k}$$

とおきます（第 $s$ 列が $\boldsymbol{v}_s$ の座標のうち $J$ に属する成分を並べたもの）。行列式は列について多重線形で、2 つの列が等しければ $0$ です（行列式の特徴づけ（定理 4.2）［行列式とその性質］ の仮定）。したがって $B_J$ は交代的な多重線形写像で、命題 5.2 の 1 により線形形式 $\lambda_J:\Lambda^kV\to K$ を定めます。増加列 $I=\{i_1<\cdots<i_k\}$ について $\lambda_J(\boldsymbol{e}_{i_1}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{i_k})=B_J(\boldsymbol{e}_{i_1},\ldots,\boldsymbol{e}_{i_k})$ は、$I=J$ なら単位行列の行列式 $1$、$I\ne J$ なら $I$ のある添字 $i_s\notin J$ について第 $s$ 列が零ベクトルになるので $0$ です。すなわち $\lambda_J(\boldsymbol{e}_I)=\delta_{IJ}$ で、$\sum_Ic_I\boldsymbol{e}_I=0$ に $\lambda_J$ を作用させて $c_J=0$ を得ます。

∎

例 5.4（$R^3$ の外積と外積ベクトル）

$\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3)$、$\boldsymbol{w}=(w_1,w_2,w_3)$ に対し、

$$\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{w}=(v_1w_2-v_2w_1)\,\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2+(v_1w_3-v_3w_1)\,\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_3+(v_2w_3-v_3w_2)\,\boldsymbol{e}_2\wedge\boldsymbol{e}_3$$

です（係数は $2\times2$ 小行列式。$\boldsymbol{e}_i\wedge\boldsymbol{e}_i=0$、$\boldsymbol{e}_j\wedge\boldsymbol{e}_i=-\boldsymbol{e}_i\wedge\boldsymbol{e}_j$ を使って展開）。$\boldsymbol{e}_2\wedge\boldsymbol{e}_3\leftrightarrow\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_3\wedge\boldsymbol{e}_1\leftrightarrow\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2\leftrightarrow\boldsymbol{e}_3$ と同一視すると、これが 3 次元の外積（ベクトル積）$\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}$ です。3 次元でだけベクトル積がベクトルになるのは、$\dim\Lambda^2\mathbb{R}^3=3=\dim\mathbb{R}^3$ だからです。

外積冪を束ねて積を入れると代数ができます。

命題 5.5（外積代数）✓

$\Lambda V=\bigoplus_{k=0}^{n}\Lambda^kV$ に、双線形な積 $\wedge:\Lambda^kV\times\Lambda^lV\to\Lambda^{k+l}V$ で

$$(\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k)\wedge(\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l)=\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k\wedge\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l$$

を満たすものがただ一つ存在する。この積は結合的で、$\alpha\in\Lambda^kV$、$\beta\in\Lambda^lV$ に対し

$$\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\,\beta\wedge\alpha$$

が成り立つ。$\Lambda V$ を $V$ の外積代数（グラスマン代数）といい、$\dim\Lambda V=2^n$。

証明（命題 5.5）

$\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_l$ を固定すると、$(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)\mapsto\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k\wedge\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l$ は交代的な $k$ 重線形写像なので、命題 5.2 の 1 により線形写像 $L_{\boldsymbol{w}}:\Lambda^kV\to\Lambda^{k+l}V$ が定まります。$\boldsymbol{w}\mapsto L_{\boldsymbol{w}}\in\operatorname{Hom}(\Lambda^kV,\Lambda^{k+l}V)$ は $l$ 重線形で、$\boldsymbol{w}_s=\boldsymbol{w}_t$ なら $L_{\boldsymbol{w}}=0$（積に同じ因子が 2 回現れる）ので交代的です。再び普遍性を使うと、$\Lambda^lV\to\operatorname{Hom}(\Lambda^kV,\Lambda^{k+l}V)$ が定まり、これが双線形な積を与えます。一意性は、純粋な外積が張ることからです。結合律は、両辺が $\boldsymbol{v}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{u}$ のように並べた外積になることを分解可能な元で確かめれば、双線形性から一般の元に従います。

反可換性: $\alpha=\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$、$\beta=\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l$ に対し、並びを $(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k,\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_l)$ から $(\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_l,\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ に変える置換は、$kl$ 個の対 $(\boldsymbol{v}_s,\boldsymbol{w}_t)$ の順序をすべて逆にするので、逆順対の個数は $kl$ で、符号は $(-1)^{kl}$ です（置換の符号（定義 2.1）［行列式とその性質］ の逆順対による定義）。命題 5.2 の 2 から $\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\beta\wedge\alpha$ です。一般の元には双線形性で拡張します。次元は $\sum_k\binom{n}{k}=2^n$ です。

∎

とくに奇数次の元 $\alpha$ は $\alpha\wedge\alpha=-\alpha\wedge\alpha$ より（標数が $2$ でなければ）$\alpha\wedge\alpha=0$ です。物理では、反交換する生成元を使うフェルミオンの代数がこの形をしています。

6. 行列式の内在的な定義

線形写像は外積冪にも作用します。$k=n$ のときの外積冪は 1 次元なので、写像の作用は「ある数を掛けること」だけになります。この数が行列式で、以下ではそのことを順に確かめます。

定義 6.1（外積冪に誘導される写像）↗

$T:V\to W$ を線形写像とする。$(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)\mapsto T\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge T\boldsymbol{v}_k$ は交代的な多重線形写像なので、命題 5.2 の 1 により、線形写像

$$\Lambda^kT:\Lambda^kV\to\Lambda^kW,\qquad\Lambda^kT(\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k)=T\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge T\boldsymbol{v}_k$$

が定まる。

分解可能な元での作用を比べれば、$\Lambda^k(ST)=\Lambda^kS\circ\Lambda^kT$ と $\Lambda^k(\mathrm{id})=\mathrm{id}$（関手性）が従います。

命題 6.2（外積冪の表現行列は小行列式）✓

$T:V\to V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_i)$ に関する表現行列を $A=(a_{ij})$ とする。$\Lambda^kT$ の基底 $\boldsymbol{e}_I$（$I=\{i_1<\cdots<i_k\}$）に関する表現行列の $(I,J)$ 成分は、$A$ の $I$ 行 $J$ 列の $k$ 次小行列式 $\det A[I,J]=\det(a_{i_sj_t})_{s,t}$ である。

証明（命題 6.2）

$\Lambda^kT(\boldsymbol{e}_J)=T\boldsymbol{e}_{j_1}\wedge\cdots\wedge T\boldsymbol{e}_{j_k}$ の $\boldsymbol{e}_I$ の係数は、定理 5.3 の証明の $\lambda_I$ を適用して得られます。$\lambda_I(\Lambda^kT(\boldsymbol{e}_J))=B_I(T\boldsymbol{e}_{j_1},\ldots,T\boldsymbol{e}_{j_k})$ で、$T\boldsymbol{e}_{j_t}$ の座標のうち $I$ に属する成分を並べた行列は $(a_{i_sj_t})_{s,t}$ です。

∎

$k=n$ の場合が行列式です。

定理 6.3（行列式の内在的定義）✓

$\dim V=n\ge1$、$T:V\to V$ を線形写像とする。$\Lambda^nV$ は 1 次元で、$\Lambda^nT$ は $\Lambda^nV$ 上のスカラー倍写像である。そのスカラーを $\det T$ と書くと、次が成り立つ。

1. $T$ の任意の基底に関する表現行列 $A$ に対し、$\det T=\det A$（ライプニッツの公式（定義 3.1）［行列式とその性質］）。とくに基底の取り方によらない。
2. $\det(ST)=\det S\det T$、$\det\mathrm{id}=1$。
3. $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ が基底のとき、$T\boldsymbol{e}_1,\ldots,T\boldsymbol{e}_n$ が基底であることは $\det T\ne0$ と同値。すなわち $T$ が可逆であることと $\det T\ne0$ は同値である。

証明（定理 6.3）

定理 5.3 より $\dim\Lambda^nV=\binom nn=1$ で、基底は $\omega=\boldsymbol{e}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_n$ です。1 次元空間上の線形写像はスカラー倍なので、$\Lambda^nT(\omega)=\det T\cdot\omega$ となるスカラーが定まります。

1. $T\boldsymbol{e}_j=\sum_ia_{ij}\boldsymbol{e}_i$ を代入して展開すると

$$\Lambda^nT(\omega)=\sum_{i_1,\ldots,i_n}a_{i_11}\cdots a_{i_nn}\,\boldsymbol{e}_{i_1}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{i_n}.$$

添字に重複があれば項は $0$ です。重複がなければ $j\mapsto i_j$ は置換 $\sigma\in S_n$ で、命題 5.2 の 2 から $\boldsymbol{e}_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{\sigma(n)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega$ です。したがって係数は $\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_ja_{\sigma(j)j}=\det A$ で、ライプニッツの公式と一致します。 2. 関手性 $\Lambda^n(ST)=\Lambda^nS\circ\Lambda^nT$ の両辺のスカラーを比べて $\det(ST)=\det S\det T$。$\det\mathrm{id}=1$ は明らかです。 3. $T\boldsymbol{e}_1\wedge\cdots\wedge T\boldsymbol{e}_n=\det T\cdot\omega$ です。$T\boldsymbol{e}_i$ が線形従属なら 命題 5.2 の 3 より左辺は $0$ なので $\det T=0$。逆に $T\boldsymbol{e}_i$ が基底ならば、基底を基底に写す $T$ は可逆で、2 から $\det T\cdot\det T^{-1}=\det\mathrm{id}=1$ ですから $\det T\ne0$ です。対偶により、$\det T\ne0$ なら $T\boldsymbol{e}_i$ は線形独立（$n$ 個なので基底）です。

∎

行列式の乗法性は、積の定理（定理 6.1）［行列式とその性質］ では多重線形性と交代性の特徴づけを経由して示しました。ここでは、$\Lambda^n$ が合成を保つ（関手性）ことと、1 次元空間上のスカラー倍が積で合成されることの 2 つだけで済みます。そして 命題 6.2 によると、$k$ 次の外積冪の行列は小行列式を並べた行列（複合行列）で、関手性は小行列式についての積の公式 — コーシー・ビネの公式 — を意味します（行列の固有値評価と不等式 で独立に証明します）。

例 6.4（平行体の体積）

$\mathbb{R}^3$ の 3 本のベクトル $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ に対し、$\boldsymbol{v}_1\wedge\boldsymbol{v}_2\wedge\boldsymbol{v}_3=D\,\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2\wedge\boldsymbol{e}_3$ の係数 $D$ は、$\boldsymbol{v}_j$ を列にもつ行列の行列式（符号つき体積）です。たとえば $\boldsymbol{v}_1=(1,2,3)$、$\boldsymbol{v}_2=(4,5,6)$、$\boldsymbol{v}_3=(7,8,9)$ は、$\boldsymbol{v}_3=2\boldsymbol{v}_2-\boldsymbol{v}_1$ より線形従属で、命題 5.2 の 3 により外積は $0$、行列式も $0$ です。

最後に、外積冪を $V^{\otimes k}$ の中の部分空間として実現できることを確かめておきます。標数 $0$ の体（$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ など）とします。

命題 6.5（外積冪と交代テンソル）✓

$K$ の標数が $0$ のとき、$\operatorname{Alt}^kV=\{t\in V^{\otimes k}\mid\sigma\cdot t=\operatorname{sgn}(\sigma)\,t\ (\forall\sigma)\}$ とおくと、$\mathcal A=\frac1{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\sigma\cdot$ は $V^{\otimes k}$ から $\operatorname{Alt}^kV$ への全射で、その核は $I_k$ である。したがって $\Lambda^kV\cong\operatorname{Alt}^kV$ である。

証明（命題 6.5）

$\mathcal At\in\operatorname{Alt}^kV$: $\tau\cdot\mathcal At=\frac1{k!}\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)(\tau\sigma)\cdot t=\operatorname{sgn}(\tau)\mathcal At$（$\sigma'=\tau\sigma$ と置き換え）。$t\in\operatorname{Alt}^kV$ なら $\mathcal At=t$ なので全射です。

$I_k\subseteq\ker\mathcal A$: 生成元 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k$（$\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{v}_j$）は互換 $\tau=(i\ j)$ で不変なので、$\sigma\cdot\boldsymbol{x}$ と $(\sigma\tau)\cdot\boldsymbol{x}$ は等しいが符号 $\operatorname{sgn}$ が逆で、和の中で打ち消します。

$\ker\mathcal A\subseteq I_k$: 互換 $\tau=(i\ j)$ について、$\boldsymbol{x}+\tau\cdot\boldsymbol{x}\in I_k$ です。これは $i,j$ の位置に $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ を入れた純テンソルから、$\boldsymbol{a}$ のみを入れたもの、$\boldsymbol{b}$ のみを入れたものを引くと、$\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}$ の位置の和が得られる（3 つの純テンソルはどれも位置 $i,j$ が等しいので $I_k$ に入る）ことから分かります。$I_k$ は成分の置換で不変なので、$\sigma$ を互換の積で書いて帰納的に $t-\operatorname{sgn}(\sigma)\sigma\cdot t\in I_k$ が分かり、$t-\mathcal At=\frac1{k!}\sum_\sigma(t-\operatorname{sgn}(\sigma)\sigma\cdot t)\in I_k$ です。$\mathcal At=0$ ならば $t\in I_k$ です。準同型定理（線形版の準同型定理（定理 4.3）［双対空間と商空間］）により $V^{\otimes k}/I_k\cong\operatorname{Alt}^kV$ です。

∎

注意 6.6

無限次元のヒルベルト空間 $\mathcal H$ に対し、$\bigoplus_k\operatorname{Sym}^k\mathcal H$ がボース・フォック空間、$\bigoplus_k\Lambda^k\mathcal H$ がフェルミ・フォック空間です。反対称の並べ替えで符号がつく $\Lambda^k$ に対して、命題 6.5 は多粒子状態が反対称化された波動関数に対応することを意味します（パウリの排他原理: 同じ状態に 2 粒子は入れない — 同じベクトルを 2 回並べると $0$）。

7. 演習

演習 7.1易

標数 $0$ の体上で $V\otimes V=\operatorname{Sym}^2V\oplus\operatorname{Alt}^2V$ を示し、$\dim V=3$ のとき次元を確かめよ。

解答

互換 $\tau$ に対して $t=\tfrac12(t+\tau\cdot t)+\tfrac12(t-\tau\cdot t)$ と分けると、第 1 項は $\tau\cdot$ で不変（対称）、第 2 項は符号が反転（交代的）です。$S_2=\{\mathrm{id},\tau\}$ なので、これは 定義 4.1 の対称テンソルと 命題 6.5 の交代テンソルです。共通部分は $\tau\cdot t=t=-\tau\cdot t$ より $t=0$ なので直和です（直和の判定（命題 5.2）［双対空間と商空間］ の (a)）。$\dim V=3$ のとき $\dim\operatorname{Sym}^2V=\binom{4}{2}=6$（命題 4.2）、$\dim\operatorname{Alt}^2V=\dim\Lambda^2V=\binom32=3$（定理 5.3）で、$6+3=9=3^2$ です。

演習 7.2標準

$t=\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{f}_1+2\,\boldsymbol{e}_1\otimes\boldsymbol{f}_2+3\,\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{f}_1+6\,\boldsymbol{e}_2\otimes\boldsymbol{f}_2$ は純テンソルか。純テンソルなら $\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{w}$ の形で書け。

解答

係数行列は $\begin{pmatrix}1&2\\3&6\end{pmatrix}$ で、行列式 $1\cdot6-2\cdot3=0$ なので階数は $1$ 以下（零行列でない）です。命題 3.9 により純テンソルで、$\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$ と分解できるので $t=(\boldsymbol{e}_1+3\boldsymbol{e}_2)\otimes(\boldsymbol{f}_1+2\boldsymbol{f}_2)$ です。

演習 7.3標準

$\boldsymbol{v}=(1,2,3)$、$\boldsymbol{w}=(4,5,6)$ に対し $\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{w}$ を計算し、例 5.4 の同一視でベクトル積に一致することを確かめよ。

解答

$\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2$ の係数は $1\cdot5-2\cdot4=-3$、$\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_3$ の係数は $1\cdot6-3\cdot4=-6$、$\boldsymbol{e}_2\wedge\boldsymbol{e}_3$ の係数は $2\cdot6-3\cdot5=-3$ です。$\boldsymbol{e}_2\wedge\boldsymbol{e}_3\leftrightarrow\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_3\wedge\boldsymbol{e}_1=-\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_3\leftrightarrow\boldsymbol{e}_2$、$\boldsymbol{e}_1\wedge\boldsymbol{e}_2\leftrightarrow\boldsymbol{e}_3$ なので、$\boldsymbol{e}_2$ の係数は $+6$ で、ベクトル積は $(-3,6,-3)$ です。直接計算 $(2\cdot6-3\cdot5,\ 3\cdot4-1\cdot6,\ 1\cdot5-2\cdot4)=(-3,6,-3)$ と一致します。

演習 7.4難

$S$ を $m$ 次、$T$ を $n$ 次の正方行列とする。$\det(S\otimes T)=(\det S)^n(\det T)^m$ を、定理 6.3 の 2 と $S\otimes T=(S\otimes I_n)(I_m\otimes T)$ を使って示せ（ヒント: $I_m\otimes T$ はブロック対角行列 $\operatorname{diag}(T,\ldots,T)$、$S\otimes I_n$ は添字の並べ替えで $\operatorname{diag}(S,\ldots,S)$ に変換できる）。

解答

$(S\otimes I_n)(I_m\otimes T)=S\otimes T$ は 定義 3.6 の後の計算（$SS'\otimes TT'$）で $S'=I_m$、$T'=T$ とした式です。定理 6.3 の 2 により $\det(S\otimes T)=\det(S\otimes I_n)\det(I_m\otimes T)$。基底を辞書式に並べると $I_m\otimes T$ はブロック対角 $\operatorname{diag}(T,\ldots,T)$ で、その行列式は ライプニッツの公式（定義 3.1）［行列式とその性質］ から（ブロックの外の成分が $0$ なので、非零の項は各ブロックを保つ置換のみ）$(\det T)^m$ です。$S\otimes I_n$ は基底を $(k,i)$ の順に並べ替えると $\operatorname{diag}(S,\ldots,S)$（$n$ 個）になります。基底の並べ替えは相似変換で、行列式を変えないので（定理 6.3 の 1）$\det(S\otimes I_n)=(\det S)^n$ です。

参考文献

• S. Lang, Algebra, 3rd ed., Springer GTM 211, 2002 — Chapter XVI（テンソル積）、Chapter XIX（外積代数と行列式）。
• S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed., Springer, 2015 — 第 9 章（多重線形形式、交代形式と行列式）。
• 松坂和夫『代数系入門』岩波書店、1976 — テンソル積に関する節。
• M. Spivak, Calculus on Manifolds, Benjamin, 1965 — 第 4 章（テンソルと微分形式への導入）。