外積冪と交代テンソル

$K$ の標数が $0$ のとき、$\operatorname{Alt}^kV=\{t\in V^{\otimes k}\mid\sigma\cdot t=\operatorname{sgn}(\sigma)\,t\ (\forall\sigma)\}$ とおくと、$\mathcal A=\frac1{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\sigma\cdot$ は $V^{\otimes k}$ から $\operatorname{Alt}^kV$ への全射で、その核は $I_k$ である。したがって $\Lambda^kV\cong\operatorname{Alt}^kV$ である。