外積代数

命題 5.5（「テンソル積と外積代数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\Lambda V=\bigoplus_{k=0}^{n}\Lambda^kV$ に、双線形な積 $\wedge:\Lambda^kV\times\Lambda^lV\to\Lambda^{k+l}V$ で

(\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k)\wedge(\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l)=\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k\wedge\boldsymbol{w}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{w}_l

を満たすものがただ一つ存在する。この積は結合的で、 $\alpha\in\Lambda^kV$ 、 $\beta\in\Lambda^lV$ に対し

\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl}\,\beta\wedge\alpha

が成り立つ。 $\Lambda V$ を $V$ の外積代数（グラスマン代数）といい、 $\dim\Lambda V=2^n$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外積の基本性質✓命題 5.2・テンソル積と外積代数
- 線形版の準同型定理✓定理 4.3・双対空間と商空間
  - 商空間定義 4.1・双対空間と商空間
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
置換とその符号定義 2.1・行列式とその性質

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。