置換とその符号

$\{1, 2, \ldots, n\}$ から自分自身への全単射を $n$ 次の置換といい、置換全体の集合を $S_n$ と書きます。$S_n$ は写像の合成 $(\sigma\tau)(i) = \sigma(\tau(i))$ について群をなし、$S_n$ の元の個数は $n!$ です。

相異なる $p, q$ について $p \mapsto q$、$q \mapsto p$ とし、他はすべて動かさない置換を互換といい $(p\ q)$ と書きます。

$\sigma \in S_n$ に対し、順序が食い違う番号の組の個数

を $\sigma$ の転倒数といい、$\mathrm{sgn}(\sigma) = (-1)^{\mathrm{inv}(\sigma)}$ を $\sigma$ の符号といいます。$\mathrm{sgn}(\sigma) = 1$ のとき $\sigma$ を偶置換、$-1$ のとき奇置換といいます。