外積の基本性質

命題 5.2（「テンソル積と外積代数」§5）・ ✓公理まで証明済み

（普遍性）任意の交代的な多重線形写像 $B:V^{k}\to W$ に対し、 $\bar B(\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k)=B(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ を満たす線形写像 $\bar B:\Lambda^kV\to W$ がただ一つ存在する。
$\boldsymbol{v}_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_{\sigma(k)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\,\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k$ （ $\sigma\in S_k$ ）。とくに隣り合う 2 つを入れ替えると符号が変わる。
$\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k$ が線形従属ならば $\boldsymbol{v}_1\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{v}_k=0$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。