置換の作用と対称テンソル

$\sigma\in S_k$ に対し、多重線形写像 $(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)\mapsto\boldsymbol{v}_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_{\sigma^{-1}(k)}$ に普遍性を使って得られる線形写像を $\sigma\cdot:V^{\otimes k}\to V^{\otimes k}$ と書く。$(\sigma\tau)\cdot=\sigma\cdot(\tau\cdot)$ が成り立つ。すべての $\sigma\in S_k$ に対して $\sigma\cdot t=t$ を満たす $t\in V^{\otimes k}$ を対称テンソルといい、その全体を $\operatorname{Sym}^kV$ と書く。