テンソル積の存在・一意性・基底

$V_1,\ldots,V_k$ を有限次元とし、$V_s$ の基底を $(\boldsymbol{e}^{(s)}_i)_{i\le n_s}$ とする。

1. （存在・基底）テンソル積 $(T,\otimes)$ が存在し、$\boldsymbol{e}^{(1)}_{i_1}\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{e}^{(k)}_{i_k}$ は $T$ の基底をなす。とくに $\dim T=n_1\cdots n_k$。
2. （一意性）$(T,\otimes)$ と $(T',\otimes')$ がともにテンソル積ならば、$\phi\circ\otimes=\otimes'$ を満たす線形同型 $\phi:T\to T'$ がただ一つ存在する。