テンソル積（普遍性による定義）

$V_1,\ldots,V_k$ を $K$ 上のベクトル空間とする。ベクトル空間 $T$ と多重線形写像 $\otimes:V_1\times\cdots\times V_k\to T$ の組 $(T,\otimes)$ が $V_1,\ldots,V_k$ のテンソル積であるとは、次の普遍性を満たすことをいう。

任意のベクトル空間 $W$ と任意の多重線形写像 $B:V_1\times\cdots\times V_k\to W$ に対し、$B=\tilde B\circ\otimes$ を満たす線形写像 $\tilde B:T\to W$ がただ一つ存在する。

$T$ を $V_1\otimes\cdots\otimes V_k$、$\otimes(\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_k)$ を $\boldsymbol{v}_1\otimes\cdots\otimes\boldsymbol{v}_k$ と書く。この形の元を純テンソル（分解可能なテンソル）という。