線形独立・生成系・基底

$V$ を $K$ 上のベクトル空間とする。

1. 組 $(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_m)$ が線形独立（一次独立）であるとは、$a_1, \ldots, a_m \in K$ について

が成り立つことをいう。線形独立でないとき線形従属という。すなわち、すべてが $0$ ではない係数 $a_1,\ldots,a_m$ で $\sum_i a_i \boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{0}$ となるものが存在するときである。無限集合 $S \subseteq V$ については、その任意の有限個の相異なる元の組が線形独立であるとき $S$ は線形独立であるという。

2. $\operatorname{span}(S) = V$ となるとき、$S$ は $V$ を生成するといい、$S$ を $V$ の生成系という。

3. 線形独立な生成系を $V$ の基底という。有限個の場合は順序を込めて $(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n)$ と組で書く。