数学 › 位相空間論 › コンパクト性

ハイネ・ボレルの定理

定理 5.2（「コンパクト性」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A \subset \mathbb{R}^n$ とする。このとき次は同値である。

$A$ はコンパクトである。
$A$ は有界（ある $R > 0$ について $A \subset B(0, R)$ ）かつ $\mathbb{R}^n$ の閉集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 16 件

Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性
最大フローの存在✓補題 4.7・連結度とネットワークフロー
多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体
クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
ペロン・フロベニウスの定理（既約行列）✓定理 6.3・行列の固有値評価と不等式
有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
スペクトルの非空コンパクト性✓定理 3.3・C*-代数の基礎
Lebesgue–Stieltjes 測度の存在と一意性✓定理 5.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
劣微分の存在と最大値公式✓定理 4.3・凸解析
閉凸集合と点の強分離✓補題 5.4・凸解析
$ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
ℝⁿ 上の Helly の選出定理✓系 7.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
ハワイの耳輪は普遍被覆をもたない✓命題 7.2・反例の空間
Menger–Nöbeling の埋め込み定理✓定理 7.1・次元論の入口

関連するノック 6 問