数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

ペロン・フロベニウスの定理（既約行列）

定理 6.3（「行列の固有値評価と不等式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

A≥0A\ge0 を n≥2n\ge2 次の既約行列とし、ρ=ρ(A)=max⁡{∣λ∣:λ は A の固有値}\rho=\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\text{ は }A\text{ の固有値}\} をスペクトル半径とする。

  1. ρ>0\rho>0 は AA の固有値であり、成分がすべて正の固有ベクトル y>0\boldsymbol{y}>0 が存在する。
  2. （コリャッツ・ヴィーラント） ρ=max⁡x≥0, x≠0rA(x)=min⁡x>0 max⁡i(Ax)ixi.\rho=\max_{\boldsymbol{x}\ge0,\ \boldsymbol{x}\ne0}r_A(\boldsymbol{x})=\min_{\boldsymbol{x}>0}\ \max_i\frac{(A\boldsymbol{x})_i}{x_i}.
  3. ρ\rho は AA の特性多項式の単純根（代数的重複度 11）で、固有空間は y\boldsymbol{y} が張る 1 次元空間である。非負の固有ベクトル（固有値は任意）は y\boldsymbol{y} の正の定数倍に限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 50 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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