数学 › 代数学（群・環・体） › 加群と PID 上の構造定理

ジョルダン標準形（構造定理から）

定理 7.5（「加群と PID 上の構造定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$K$ が代数閉体なら、 $K$ 上の任意の正方行列はジョルダン細胞の直和 $J_{e_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{e_u}(\lambda_u)$ に相似で、細胞の集合（順序を除く）は一意に定まる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

相似と加群の同型✓命題 7.1・加群と PID 上の構造定理
構造定理の一意性✓定理 5.3・加群と PID 上の構造定理
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 中国剰余定理✓命題 2.4・加群と PID 上の構造定理
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

ジョルダン標準形の存在と一意性✓定理 6.2・対角化とジョルダン標準形
行列式の対数の級数✓補題 5.7・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 2 部

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