加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で

0. この記事の要点

整数だけでできた足し算の世界（たとえば時計の目盛りの足し算）と、行列を何度もかけたときの動きは、まったく別の話に見えます。ところが、どちらも「ある数の集まりを掛け合わせる」という同じ型で捉え直すと、同じ一つの定理で分類できます。この記事は、その共通の型を作り、二つの分類が一つの定理から出てくる様子を順に見ていきます。

• 加群は、体の代わりに環をスカラーとするベクトル空間です。アーベル群は $\mathbb{Z}$ 加群、線形変換 $T$ を持つベクトル空間は $K[x]$ 加群として見えます。
• 単項イデアル整域（PID）上の自由加群の部分加群は自由加群です。この事実を使うと、有限生成加群は「生成元の間の関係式を並べた行列」で表せます。
• その行列を行と列の基本変形で対角化するのがスミス標準形で、対角成分が順に割り切る形にできます。
• そこから構造定理が従います。PID 上の有限生成加群は、自由加群と、$R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_s)$（$d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$）の直和に同型で、この形は一意に定まります。
• $R = \mathbb{Z}$ なら有限生成アーベル群の基本定理、$R = K[x]$ なら有理標準形とジョルダン標準形、さらにケーリー・ハミルトンの定理が、同じ定理の特別な場合として一度に得られます。

この記事で使う事前知識

• 単項イデアル整域（PID）: すべてのイデアルが 1 つの元で生成される整域。→ 単項イデアル整域
• 単元・既約元: 単元は逆元を持つ元、既約元は 0 でも単元でもなく、単元でない 2 元の積に分解できない元で、整数でいう素数にあたるもの。→ 多項式環と体の拡大
• アーベル群: 足し算の順序によらない群。→ アーベル群
• 相似: 正則行列 $S$ により $B = SAS^{-1}$ と表せる 2 つの行列の関係。→ 相似
• 特性多項式: 行列 $A$ に対する $\det(xI - A)$。→ 特性多項式
• ジョルダン標準形: 行列を相似を除いてジョルダン細胞の直和で表したもの。→ 対角化とジョルダン標準形

1. 動機：二つの分類定理は同じものだった

有限生成アーベル群は、巡回群の直積 $\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \times \cdots$ で分類されます。一方、線形代数では、複素正方行列は相似を除いてジョルダン標準形で分類されます（対角化とジョルダン標準形の 定理 6.2［対角化とジョルダン標準形］）。この二つは、証明の方法も雰囲気もまるで違って見えます。前者は元の位数の議論、後者は一般化固有空間への分解です。

しかし、次の対応に気づくと、二つは同じ定理に見えてきます。アーベル群 $A$ は、整数 $n$ と元 $a$ の積 $na = a + \cdots + a$ により、$\mathbb{Z}$ をスカラーとするベクトル空間のようなものになります。線形変換 $T$ を持つ有限次元ベクトル空間 $V$ は、多項式 $f$ と $v$ の積 $f \cdot v = f(T)v$ により、$K[x]$ をスカラーとするベクトル空間のようなものになります。スカラーが体でなく環（ともに PID）になっても、「基底に相当するもの」がうまく取れる、というのが構造定理です。

この記事では次の順に進みます。加群の基本（§2）、PID 上の自由加群の部分加群（§3）、スミス標準形（§4）、構造定理とその一意性（§5）、アーベル群への応用（§6）、$K[x]$ 加群と標準形（§7）。以下、$R$ は単項イデアル整域（PID）、$K$ は体を表します。PID が UFD であること（定理 2.5［多項式環と体の拡大］）を使います。

2. 加群

定義 2.1（加群）↗

$R$ を可換環とする。アーベル群 $M$ と、写像 $R \times M \to M$, $(r, m) \mapsto rm$ の組が $R$ 加群であるとは、すべての $r, s \in R$, $m, n \in M$ について次が成り立つことをいう。

$$(r+s)m = rm + sm,\quad r(m+n) = rm + rn,\quad (rs)m = r(sm),\quad 1\cdot m = m.$$

$R$ が体なら、$R$ 加群はベクトル空間です。

例 2.2（加群の例）

1. アーベル群 = $\mathbb{Z}$ 加群。 アーベル群 $A$ は $n a = a + \cdots + a$（$n$ 個、$n<0$ なら逆元の和）により $\mathbb{Z}$ 加群で、$\mathbb{Z}$ 加群はアーベル群と同じものです。
2. $K[x]$ 加群。 $V$ を $K$ 上のベクトル空間、$T : V \to V$ を線形写像とします。$f \cdot v := f(T)v$ により $V$ は $K[x]$ 加群になります（これを $V_T$ と書きます）。逆に $K[x]$ 加群は、ベクトル空間と、$x$ の作用に対応する線形写像の組です。
3. 剰余環。 $I$ を $R$ のイデアルとすると、$R/I$ は $R$ 加群です（$r(a + I) = ra + I$）。$I = R$ のとき $R$ 加群 $R/I$ は $0$ です。
4. 自由加群 $R^n$。 $n$ 個の組 $(a_1, \ldots, a_n)$ の全体に成分ごとの演算を入れたもの。標準基底 $e_1, \ldots, e_n$ を持ちます。

部分加群、加群の準同型 $f : M \to M'$（$f(m+n) = f(m) + f(n)$, $f(rm) = rf(m)$）、核・像、剰余加群 $M/N$ は、ベクトル空間と同様に定義されます。部分加群 $N$ による剰余は、アーベル群として $M/N$ を作り、$r(m + N) = rm + N$ と定めます（$m - m' \in N$ なら $rm - rm' \in N$ なので well-defined）。群の準同型定理（定理 5.1［群の準同型定理］）を $R$ の作用つきにした形が成り立ちます。

定理 2.3（加群の準同型定理）✓

$f : M \to M'$ が加群の全射準同型で核が $N$ なら、$M/N \cong M'$（加群として）である。

証明（定理 2.3）

アーベル群としての準同型定理により、$\bar{f} : M/N \to M'$, $m + N \mapsto f(m)$ は群同型です。さらに $\bar{f}(r(m+N)) = f(rm) = rf(m) = r\bar{f}(m + N)$ で、$R$ 線形です。

∎

加群 $M$ が元 $m_1, \ldots, m_n$ で生成されるとは、$M = \{ \sum r_i m_i \}$ であることをいい、有限個の元で生成されるとき有限生成といいます。$n$ 個の元で生成されることは、全射準同型 $R^n \to M$, $e_i \mapsto m_i$ があることと同じです。

$R$ が整域のとき、$m \in M$ がねじれ元であるとは、$rm = 0$ となる $r \ne 0$ があることです。ねじれ元の全体は部分加群です（$rm = 0, sn = 0$ なら $rs(m+n) = 0$ で $rs \ne 0$）。ねじれ元が $0$ だけの加群はねじれなし、すべての元がねじれ元の加群はねじれ加群といいます。

命題 2.4（中国剰余定理）✓

$a, b \in R$ が $aR + bR = R$ を満たすなら（PID では、$a, b$ が共通の素因子を持たないことと同値）、$R/(ab) \cong R/(a) \times R/(b)$（環・加群として）である。

証明（命題 2.4）

$\phi : R \to R/(a) \times R/(b)$, $x \mapsto (x + (a), x + (b))$ は環準同型です。$ua + vb = 1$ と書く。$x \in \ker\phi$ なら $x \in (a) \cap (b)$ で、$x = xua + xvb$ です。$x = bc$ なので $xua = ab\,cu$、$x = ac'$ なので $xvb = ab\,c'v$ とも書け、$x \in (ab)$ です。逆に $(ab) \subseteq \ker\phi$ は明らかで、$\ker\phi = (ab)$ です。全射性は、$(r + (a), s + (b))$ に対して $x = rvb + sua$ を取ると、$vb \equiv 1 \pmod a$, $ua \equiv 0 \pmod a$ なので $x \equiv r \pmod a$、同様に $x \equiv s \pmod b$ となることからわかります。定理 2.3 から結論が従います。

∎

3. PID 上の自由加群の部分加群

体上のベクトル空間 $K^n$ の部分空間は、次元が $n$ 以下のベクトル空間です。PID 上でも同様のことが成り立ちます。

定理 3.1（自由加群の部分加群は自由）✓

$R$ を PID とし、$N$ を $R^n$ の部分加群とする。このとき $N$ は、$m \le n$ 個の元からなる基底（$N$ を生成し、$\sum c_i u_i = 0 \Rightarrow$ すべて $c_i = 0$ となる元の組）を持つ。

証明（定理 3.1）

$n$ に関する帰納法です。$n = 0$ は自明です。$n \ge 1$ とし、$\pi : R^n \to R$ を最後の座標への射影とします。$\pi(N)$ は $R$ のイデアルなので $\pi(N) = (a)$ と書けます。$N_0 = N \cap \ker\pi$ は $R^{n-1}$（最後の座標が $0$ のベクトル）の部分加群で、帰納法の仮定により基底 $u_1, \ldots, u_k$（$k \le n-1$）を持ちます。

$a = 0$ なら $N = N_0$ で完了です。$a \ne 0$ なら $\pi(v) = a$ となる $v \in N$ を取ります。$u_1, \ldots, u_k, v$ が $N$ の基底であることを示します。$x \in N$ について $\pi(x) = ca$ と書けるので、$x - cv \in N_0$ で、$x \in \sum R u_i + Rv$ です。一次独立性：$\sum c_i u_i + cv = 0$ に $\pi$ を施すと $ca = 0$ で、$R$ は整域、$a \ne 0$ なので $c = 0$。すると $\sum c_i u_i = 0$ から $u_i$ の一次独立性により $c_i = 0$ です。基底の個数は $k + 1 \le n$ です。

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4. スミス標準形

有限生成加群 $M$ を $n$ 個の元で生成すると、全射 $\varphi : R^n \to M$ ができ、$M \cong R^n/\ker\varphi$ です。定理 3.1 により $\ker\varphi$ は基底 $w_1, \ldots, w_m$ を持ちます。これらを列とする $n \times m$ 行列 $A$ を関係行列と呼びます。$M$ の構造は、この行列 $A$ だけで決まります。

有限生成加群 M は、関係行列 A で定まる列 R^m → R^n の余核。A を基底変換で簡単な形にすれば M の構造が読める

$R$ 上の $n \times m$ 行列 $A$ と $B$ が同値であるとは、$B = PAQ$ となる可逆行列 $P \in \mathrm{GL}_n(R)$, $Q \in \mathrm{GL}_m(R)$ が存在することをいいます（行列 $P$ が可逆とは、逆行列が $R$ の成分で書けること）。$P$ は $R^n$ の基底の取り替え、$Q$ は $\ker\varphi$ の基底の取り替えです。

0 でない $a \in R$ に対し、$a$ の既約元への分解（定理 2.5［多項式環と体の拡大］）に現れる既約元の個数（重複を込めて）を $\ell(a)$ とします。単元では $\ell = 0$ で、$\ell(ab) = \ell(a) + \ell(b)$ です。$d \mid a$ で $d$ と $a$ が同伴（単元倍しか違わない関係）でないなら $a = de$（$e$ は非単元）なので $\ell(d) < \ell(a)$ です。

定理 4.1（スミス標準形）✓

$R$ を PID、$A$ を $R$ 上の $n \times m$ 行列とする。このとき $A$ は、対角成分が $d_1, \ldots, d_t, 0, \ldots, 0$（$d_i \ne 0$, $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_t$）で他の成分が $0$ である行列に同値である。

証明の方針：連立方程式を掃き出すのと同じく、行と列の基本変形で成分を消していきます。ただし整数や多項式では割り算が必ずしも割り切れないので、最大公約元を作る操作を使い、成分の「既約元の個数」が最小のものを左上に置いて、行と列をまとめて消します。これを残りの小さな行列に繰り返します。

証明（定理 4.1）

$A = 0$ なら自明なので $A \ne 0$ とします。次の 3 種類の操作は、可逆行列を左右からかけることに当たります。(i) 行の入れ替え、列の入れ替え。(ii) ある行（列）の $c$ 倍を別の行（列）に加える。(iii) 2 つの列 $c_1, c_j$ に対し、$\begin{pmatrix}u & -b/d \\ v & a/d\end{pmatrix}$ を右からかける。ただし $a, b \in R$ で $d = \gcd(a, b) = ua + vb$ と書く（$R$ は PID なので $(a, b) = (d)$ で、$a/d, b/d \in R$）。この 2 × 2 行列の行列式は $(ua + vb)/d = 1$ で、可逆です。(iii) の行についての版もあります。

$A$ に同値な行列全体を考え、その中の 0 でない成分で $\ell$ が最小のものを選びます。行・列を入れ替えて、それを $(1,1)$ 成分 $b_{11}$ に置いた行列 $B$ を取ります。

主張 1：$b_{11}$ は第 1 行と第 1 列のすべての成分を割る。 割らない成分 $b_{1j}$ があったとします。$d = \gcd(b_{11}, b_{1j}) = ub_{11} + vb_{1j}$ とすると $d$ は $b_{11}$ を割りますが同伴ではない（同伴なら $b_{11} \mid b_{1j}$）ので $\ell(d) < \ell(b_{11})$ です。(iii) の操作を第 1 列と第 $j$ 列にほどこすと $(1,1)$ 成分が $d$ になり、$\ell$ の最小性に反します。第 1 列も同様です。

主張 1 により、第 1 列と第 1 行の他の成分を (ii) で $0$ にでき、$B$ は $b_{11}$ と $(n-1) \times (m-1)$ 行列 $B'$ の直和 $\begin{pmatrix} b_{11} & 0 \\ 0 & B' \end{pmatrix}$ に同値です。

主張 2：$b_{11}$ は $B'$ のすべての成分を割る。 $B'$ の成分 $b_{ij}$（$i, j \ge 2$）を取り、第 $i$ 行を第 $1$ 行に加えます。得られた行列は $A$ に同値で、$(1,1)$ 成分は同じ $b_{11}$ なので $\ell$ 最小のままです。その $(1, j)$ 成分は $b_{ij}$ で、主張 1 により $b_{11} \mid b_{ij}$ です。

$B'$ に帰納法の仮定を適用して標準形にします。操作は $B'$ の成分の $R$ 係数の一次結合しか作らないので、$b_{11}$ は $B'$ の標準形の対角成分をすべて割ります。したがって全体が標準形になり、$d_1 = b_{11}$ です。

∎

例 4.2（整数行列のスミス標準形）

$A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{pmatrix}$ を $\mathbb{Z}$ 上で変形します。第 2 行から第 1 行の 3 倍を引くと $\begin{pmatrix}2 & 4 \\ 0 & -4\end{pmatrix}$、第 2 列から第 1 列の 2 倍を引くと $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -4\end{pmatrix}$、第 2 行に $-1$ をかけて $\mathrm{diag}(2, 4)$ です。$2 \mid 4$ なので標準形で、$d_1 d_2 = 8 = |\det A|$（$\det A = -8$）と一致します。この行列の列で生成される $\mathbb{Z}^2$ の部分群による剰余群は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で、位数は $8$ です。

5. 構造定理

定理 5.1（PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形））✓

$R$ を PID、$M$ を有限生成 $R$ 加群とする。このとき、$r \ge 0$ と、$0$ でも単元でもない $d_1, \ldots, d_s \in R$（$d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$）が存在して

$$M \cong R^r \oplus R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_s)$$

となる。$r$ と、同伴を除く $d_1, \ldots, d_s$ は $M$ によって一意に定まる。$r$ を $M$ の階数、$d_i$ を不変因子という。

存在から証明します（一意性は定理 定理 5.3 で）。方針は、関係行列 $A$ をスミス標準形にして、左から掛ける $P$ を $R^n$ の基底の取り替え、右から掛ける $Q$ を $\ker\varphi$ の基底の取り替えと読むことです。そうすると、基底の各元の倍数がそのまま関係式になり、$M$ が $R/(d_j)$ の直和として読み取れます。

証明（定理 5.1）

存在。 $M$ を $n$ 個の元で生成して全射 $\varphi : R^n \to M$ を取り、$K_0 = \ker\varphi$ とします。定理 3.1 により $K_0$ は基底 $w_1, \ldots, w_m$ を持ちます。$w_j$ の座標を列とする $n \times m$ 行列を $A$ とします。定理 4.1 により $PAQ = D$（$D$ は対角成分 $d_1, \ldots, d_t, 0, \ldots, 0$ のスミス標準形）となる可逆行列 $P, Q$ があります。

$Q$ の列で基底を取り替える（$w'_j$ = $AQ$ の第 $j$ 列）と、$w'_1, \ldots, w'_m$ も $K_0$ の基底です。$P^{-1}$ の第 $i$ 列を $f_i$ とすると $f_1, \ldots, f_n$ は $R^n$ の基底で、$AQ = P^{-1}D$ から $w'_j = d_jf_j$（$j \le t$）、$w'_j = 0$（$j > t$）です。基底の元は $0$ でないので $t = m$ で、すべての $d_j \ne 0$ です。したがって $K_0 = \bigoplus_{j \le m} R\,d_jf_j$ で、$R^n = \bigoplus_i Rf_i$ です。写像 $R^n \to \bigoplus_{j \le m}R/(d_j) \oplus R^{n-m}$, $\sum c_if_i \mapsto (c_j \bmod d_j)_{j \le m} \oplus (c_i)_{i > m}$ は全射で、核は $\bigoplus R\,d_jf_j = K_0$ です。定理 2.3 から

$$M \cong R^n/K_0 \cong R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_m) \oplus R^{n-m}$$

です。単元の $d_j$ では $R/(d_j) = 0$ なので落とせます。単元は他のすべてを割るので、単元の $d_j$ は先頭に並び、残りは $d_j \mid d_{j+1}$ を保ちます。$r = n - m$ です。

∎

命題 5.2（素冪因子形）✓

$d = u\,p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$（$u$ は単元、$p_i$ は同伴でない既約元）ならば $R/(d) \cong R/(p_1^{e_1}) \oplus \cdots \oplus R/(p_k^{e_k})$ である。したがって 定理 5.1 の $M$ は

$$M \cong R^r \oplus \bigoplus_{j} R/(q_j^{e_j}) \qquad (q_j \text{ は既約元})$$

の形にも書ける。

証明（命題 5.2）

$p_i^{e_i}$ と $p_j^{e_j}$（$i \ne j$）は共通の素因子を持たないので $(p_i^{e_i}) + (p_j^{e_j}) = R$ です。実際 $(p_i)$ は極大イデアル（補題 2.4［多項式環と体の拡大］）で、$p_j^{e_j} \notin (p_i)$（$p_i \mid p_j^{e_j}$ なら素元性から $p_i \mid p_j$、同伴になって矛盾）なので、$(p_i) + (p_j^{e_j}) = R$ です。ここから $(p_i^{e_i}) + (p_j^{e_j}) = R$ も従います（$1 = ap_i + bp_j^{e_j}$ を $e_i$ 乗して展開すると $p_i^{e_i}$ の倍数と $p_j^{e_j}$ の倍数の和になる）。$k$ に関する帰納法と 命題 2.4 を使えば（$p_1^{e_1}$ と $p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$ も互いに素）、結論が従います。

∎

定理 5.3（構造定理の一意性）✓

$M \cong R^r \oplus \bigoplus_{j=1}^{u} R/(q_j^{e_j})$（$q_j$ は既約元、$e_j \ge 1$）と書くとき、$r$ と、同伴を除く組の集合 $\{(q_j, e_j)\}$（重複込み）は $M$ だけで定まる。したがって 定理 5.1 の不変因子も $M$ で定まる。

証明の方針：分解のしかたが何通りあっても答えが変わらないことを示すには、分解によらず $M$ から計算できる量を見つければ十分です。既約元 $p$ を $k$ 回かけてできる部分と $k+1$ 回かけてできる部分の差を見ると、これが体上のベクトル空間になって次元が数えられ、各因子が $p$ のべきをいくつ含むかが次元の表に現れます。

証明（定理 5.3）

既約元 $p$ を 1 つ固定し、$k \ge 0$ に対して $F_k(M) = p^kM/p^{k+1}M$ を考えます。これは $R/(p)$ 加群で、$R/(p)$ は体（補題 2.4［多項式環と体の拡大］）なので、ベクトル空間です。$M$ の同型で保たれるので、$\dim F_k(M)$ は $M$ から決まる量です。また $F_k$ は直和を保つ（$F_k(M_1 \oplus M_2) = F_k(M_1) \oplus F_k(M_2)$）ので、各因子で計算します。

• $M = R$：$x \mapsto p^kx$ は $R \to p^kR/p^{k+1}R$ の全射で、核は $(p)$ なので $F_k(R) \cong R/(p)$、次元 $1$。
• $M = R/(q^e)$ で $q \sim p$（同伴）：$p^kM = (p^k)/(p^e)$（$k \le e$）なので、$k < e$ なら $F_k(M) = (p^k)/(p^{k+1}) \cong R/(p)$ で次元 $1$、$k \ge e$ なら $p^kM = 0$ で次元 $0$。
• $M = R/(q^e)$ で $q \not\sim p$：命題 5.2 の証明と同様に $(p) + (q^e) = R$ なので、$p$ は $M$ 上で可逆（$px + q^ey = 1$）、$p^kM = M$ で $F_k(M) = 0$。

したがって

$$\dim F_k(M) = r + \#\{ j : q_j \sim p,\ e_j > k \}.$$

$k$ を十分大きく取れば右辺は $r$ に等しく、$r$ が定まります。さらに $\#\{j : q_j \sim p, e_j > k\}$ がすべての $k$ で定まるので、その差 $\#\{j : q_j \sim p,\ e_j = k + 1\}$ も定まります。$p$ は任意だったので、組の集合が $M$ で定まります。

不変因子形への読み替え：$d_1 \mid \cdots \mid d_s$ に対し、素因数分解 $d_i = u_i\prod_p p^{a_{p,i}}$ における指数は $i$ について非減少（$d_i \mid d_{i+1}$）です。命題 5.2 により、素冪因子の集合は $\{ p^{a_{p,i}} : a_{p,i} \ge 1 \}$ で、素数 $p$ ごとの指数を大きい順に並べると、$d_s$ の $p$ 指数が最大、$d_{s-1}$ が 2 番目、… となります。したがって素冪因子の集合から各 $d_i$ が同伴を除いて復元できます。

∎

6. 有限生成アーベル群の基本定理

$R = \mathbb{Z}$ とすると、$\mathbb{Z}$ 加群はアーベル群なので、構造定理は次のように読めます。

系 6.1（有限生成アーベル群の基本定理）✓

有限生成アーベル群 $A$ は、整数 $r \ge 0$ と、$d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$（$d_i \ge 2$）を用いて

$$A \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_s\mathbb{Z}$$

と書け、$r, d_i$ は一意に定まる。特に有限アーベル群は、素数のべきの位数の巡回群の直和 $\bigoplus \mathbb{Z}/p_j^{e_j}\mathbb{Z}$ に（順序を除いて一意に）分解する。

証明（系 6.1）

定理 5.1 を $R = \mathbb{Z}$（PID、命題 7.2［イデアルと剰余環］）に適用します。$\mathbb{Z}$ の単元は $\pm 1$ なので、$d_i$ を正の整数にとれ、非単元は $d_i \ge 2$ です。有限アーベル群ではねじれなし部分が $0$ なので、$r = 0$ です。素冪形は 命題 5.2 です。

∎

素冪因子形と不変因子形の対応を、$\mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/6$ の例で表にします。$\mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/3$ なので、素冪因子形は $\mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/3$ です。素数ごとに指数の大きいものから順に並べ、同じ段のものを掛け合わせると不変因子が得られます。

段	素数 2 の部分	素数 3 の部分	掛け合わせ
$d_2$	$4$	$3$	$12$
$d_1$	$2$	なし（$1$）	$2$

よって $\mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/12$ で、どちらも位数は $24$ です。

例 6.2（位数が与えられたアーベル群の数え上げ）

$|A| = 72 = 2^3 \cdot 3^2$ のアーベル群の数を数えます。定理 5.3 から、素冪因子の集合が $A$ を決めます。$2$ の部分は指数の分割 $3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$ の $3$ 通り、$3$ の部分は $2 = 2 = 1 + 1$ の $2$ 通りなので、全部で $3 \times 2 = 6$ 通りです。たとえば $2$ の部分が $(2^2, 2)$、$3$ の部分が $(3, 3)$ のとき、$A \cong \mathbb{Z}/4 \oplus \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/3$ で、不変因子形では $d_2 = 4 \cdot 3 = 12$, $d_1 = 2 \cdot 3 = 6$ より $\mathbb{Z}/6 \oplus \mathbb{Z}/12$ です。

7. $K[x]$ 加群と標準形

$K$ を体、$V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$T : V \to V$ を線形写像とし、$V_T$ を 例 2.2 (2) の $K[x]$ 加群とします。$V_T$ の部分加群は、$T$ 不変な部分空間そのものです。2 つの $K[x]$ 加群 $V_T$, $V'_{T'}$ の間の準同型は、$S \circ T = T' \circ S$ を満たす線形写像 $S$ です。

命題 7.1（相似と加群の同型）✓

$A, B$ を $K$ 上の $n$ 次正方行列とし、$T_A, T_B : K^n \to K^n$ を対応する線形写像とする。$A$ と $B$ が相似（$B = SAS^{-1}$ となる可逆行列 $S$ が存在）であることと、$K[x]$ 加群として $(K^n)_{T_A} \cong (K^n)_{T_B}$ であることは同値である。

証明（命題 7.1）

$K[x]$ 加群の準同型 $S : (K^n)_{T_A} \to (K^n)_{T_B}$ は $K$ 線形で $ST_A = T_BS$ を満たす写像です。同型であることは $S$ が可逆であることなので、$B = SAS^{-1}$ です。逆も同じ式から従います。

∎

$V_T$ は $K[x]$ 加群として有限生成です（$V$ の基底が生成元）。しかもねじれ加群です。実際 $\mathrm{End}_K(V)$ は $n^2$ 次元なので、$\mathrm{id}, T, \ldots, T^{n^2}$ は一次従属で、$f(T) = 0$ となる $f \neq 0$ があります。このとき $f \cdot v = f(T)v = 0$ がすべての $v$ で成り立ちます。ねじれ加群には $K[x]$ の直和因子は現れないので、定理 5.1 の階数 $r$ は $0$ です。

定理 7.2（有理標準形）✓

$V$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、$T : V \to V$ を線形写像とする。このとき、$K[x]$ 加群として

$$V_T \cong K[x]/(d_1) \oplus \cdots \oplus K[x]/(d_s)$$

となるモニックな非定数多項式 $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ が一意に存在する（不変因子）。$d_s$ は $T$ の最小多項式、$d_1 \cdots d_s$ は特性多項式であり、$V$ の適当な基底について $T$ の行列は $\mathrm{diag}(C_{d_1}, \ldots, C_{d_s})$ である。ここで $d = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \cdots + c_0$ に対し、

$$C_d = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{k-1} \end{pmatrix}$$

は $d$ のコンパニオン行列である。特に 2 つの行列が相似であることと、不変因子が一致することは同値である。

証明の方針：行列 $A$ の表す $V_T$ の関係行列が、多項式を成分とする $xI - A$ になることを示します。これは「$x$ をかけることは $T$ を施すこと」という $K[x]$ 加群の定義そのものから出ます。この行列にスミス標準形を使うと、不変因子と特性多項式が同時に読み取れます。

証明（定理 7.2）

分解の存在と一意性。 $K[x]$ は PID（命題 7.2［イデアルと剰余環］）、$V_T$ は有限生成かつ階数 $0$ なので、定理 5.1 から $V_T \cong \bigoplus K[x]/(d_i)$ で、一意性も同定理です。単元は定数で、$d_i$ をモニックに取れます（同伴なイデアルは同じ）。

行列。 $d$ が $k$ 次のモニック多項式のとき、除法により $1, x, \ldots, x^{k-1}$ は $K[x]/(d)$ の $K$ 上の基底です。$x$ をかける写像はこれらを $x^{j} \mapsto x^{j+1}$（$j < k-1$）、$x^{k-1} \mapsto x^k = -c_{k-1}x^{k-1} - \cdots - c_0$ と動かすので、行列は $C_d$ です。各直和因子の基底を並べれば、$T$ は $\mathrm{diag}(C_{d_1}, \ldots, C_{d_s})$ になります。

特性多項式との関係。 $A$ を $T$ の基底 $v_1, \ldots, v_n$ に関する行列（$Tv_j = \sum_i a_{ij}v_i$）とします。自由 $K[x]$ 加群 $K[x]^n$（標準基底 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$）から $V_T$ への全射 $\Phi$ を $\Phi(\varepsilon_j) = v_j$ で定めます。$N$ を、$xI - A$ の列 $\eta_j = x\varepsilon_j - \sum_i a_{ij}\varepsilon_i$ で生成される部分加群とします。$\Phi(\eta_j) = Tv_j - \sum_i a_{ij}v_i = 0$ なので $N \subseteq \ker\Phi$ です。逆に、$N$ を法とすると $x\varepsilon_j \equiv \sum_i a_{ij}\varepsilon_i$ なので、任意の元は $\sum c_j\varepsilon_j$（$c_j \in K$）に合同です。それが $\ker\Phi$ に属するなら $\sum c_jv_j = 0$ で $c_j = 0$ ですから、$\ker\Phi = N$ です。したがって $V_T \cong K[x]^n/N$、つまり $V_T$ は関係行列 $xI - A$ を持ちます。なお $\eta_1, \ldots, \eta_n$ は $K[x]$ 上一次独立で、$N$ の基底になっています。実際 $\sum_j g_j\eta_j = 0$（$g_j \in K[x]$）は $(xI - A)\boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}$ と同じで、$\det(xI - A)$ は $0$ でないモニック多項式なので、分数体 $K(x)$ 上で $xI - A$ は正則であり $\boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}$ となります。

$xI - A$ に 定理 4.1 を適用して $P(xI - A)Q = D$（$D$ は対角行列、成分 $D_{11} \mid D_{22} \mid \cdots$）とします。$V_T$ が階数 $0$ のねじれ加群であることから、定理 5.1 の存在証明のとおり $D$ の対角成分は $n$ 個すべて $0$ でなく、単元を除いた成分をモニックにしたものが不変因子 $d_1, \ldots, d_s$ です（一意性より）。行列式を取ると、$\det P, \det Q$ は $K[x]$ の単元、すなわち $0$ でない定数で、$\det(xI - A) = c\prod_i D_{ii} = c'\,d_1\cdots d_s$（$c, c' \in K^{\times}$）です。両辺がモニックなので $c' = 1$ で、特性多項式は $d_1 \cdots d_s$ です。

最小多項式。 $T$ の最小多項式を $m$ とします。$d_s(T)$ は各直和因子 $K[x]/(d_i)$ に零写像として作用する（$d_i \mid d_s$）ので $d_s(T) = 0$ で、$m \mid d_s$ です。逆に $m(T) = 0$ ならば、$K[x]/(d_s)$ の生成元 $1$ に作用させて $m \in (d_s)$、つまり $d_s \mid m$ です。

∎

系 7.3（ケーリー・ハミルトンの定理）✓

$T : V \to V$ の特性多項式 $\chi_T$ に対し、$\chi_T(T) = 0$ である。

証明（系 7.3）

定理 7.2 により $\chi_T = d_1\cdots d_s$ は $d_s$ の倍数で、$d_s$ は最小多項式なので $d_s(T) = 0$ です。したがって $\chi_T(T) = 0$ です。

∎

行列式と掃き出しで示す通常の証明と比べて、この証明は「特性多項式は最小多項式の倍数」という関係を、構造から読み取っているところが特徴です。

例 7.4（不変因子による相似類の分類）

$3 \times 3$ 行列で特性多項式が $(x-1)^2(x-2)$ のものの相似類を分類します。不変因子 $d_1 \mid \cdots \mid d_s$ は $\prod d_i = (x-1)^2(x-2)$ を満たす非定数モニック多項式です。$s = 1$ なら $d_1 = (x-1)^2(x-2)$（コンパニオン行列 1 つ、最小多項式 = 特性多項式）。$s = 2$ なら $d_1 \mid d_2$ で、$d_1$ は非定数なので $d_1$ の既約因子はすべて $d_2$ の既約因子で、$d_1 = x - 1$, $d_2 = (x-1)(x-2)$ しかありません（$d_1 = x - 2$ は $d_2 = (x-1)^2$ を割らない）。$s = 3$ なら 3 つの $d_i$ はすべて 1 次式で互いに割り切るので等しく、積が 3 乗になって $(x-1)^2(x-2)$ と合いません。$s \ge 4$ は次数が足りません。よって相似類はちょうど 2 つで、1 つは対角化可能（最小多項式 $(x-1)(x-2)$）、もう 1 つは対角化不可能（最小多項式 $(x-1)^2(x-2)$）です。

7.1. ジョルダン標準形の再証明

$K$ が代数閉体（たとえば $\mathbb{C}$）のとき、各不変因子は一次式のべきの積に分解し、命題 5.2 により

$$V_T \cong \bigoplus_j K[x]/\bigl((x - \lambda_j)^{e_j}\bigr)$$

と素冪因子形に分解します。$K[x]/((x-\lambda)^e)$ の基底として $b_k = (x-\lambda)^{k}$（$k = 0, \ldots, e-1$）を取ると、$x \cdot b_k = \lambda b_k + b_{k+1}$（$b_e = 0$）です。基底を $b_{e-1}, \ldots, b_0$ の順に並べると、$x$ の作用の行列は対角成分 $\lambda$、すぐ上の成分が $1$ のジョルダン細胞 $J_e(\lambda)$ になります。たとえば $e = 2$ では $b_0 = 1$, $b_1 = x - \lambda$ で、$x \cdot b_1 = \lambda b_1$, $x \cdot b_0 = \lambda b_0 + b_1$ ですから、基底 $b_1, b_0$ に関する行列は $\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ です。

定理 7.5（ジョルダン標準形（構造定理から））✓

$K$ が代数閉体なら、$K$ 上の任意の正方行列はジョルダン細胞の直和 $J_{e_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{e_u}(\lambda_u)$ に相似で、細胞の集合（順序を除く）は一意に定まる。

証明（定理 7.5）

上で示した分解と 命題 7.1 から相似な標準形が存在します。一意性は、素冪因子の組 $\{(x - \lambda_j, e_j)\}$ が $V_T$ から一意に定まること（定理 5.3）と、ジョルダン細胞の直和が素冪因子の直和に対応することによります。

∎

これは 対角化とジョルダン標準形 の 定理 6.2［対角化とジョルダン標準形］ と同じ主張を、一般化固有空間を使わずに別の道で証明したものです。

例 7.6（冪零行列の相似類）

特性多項式が $x^3$ の $3 \times 3$ 行列を考えます。素冪因子の組は、$(x^3)$、$(x^2, x)$、$(x, x, x)$ の 3 通りで、ジョルダン細胞の大きさの分割 $3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$ に対応します。不変因子形では、それぞれ $d = (x^3)$、$(d_1, d_2) = (x, x^2)$、$(x, x, x)$ で、最小多項式は $x^3, x^2, x$ です。$(x, x^2)$ と $(x^3)$ の行列は、特性多項式が同じ $x^3$ でも最小多項式が違うので相似ではありません。

8. 演習

演習 8.1易

アーベル群 $A = \mathbb{Z}/6 \oplus \mathbb{Z}/10 \oplus \mathbb{Z}/15$ の素冪因子形と不変因子形を求めよ。

解答

$\mathbb{Z}/6 \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/3$, $\mathbb{Z}/10 \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/5$, $\mathbb{Z}/15 \cong \mathbb{Z}/3 \oplus \mathbb{Z}/5$（命題 2.4）なので、素冪因子形は $(\mathbb{Z}/2)^2 \oplus (\mathbb{Z}/3)^2 \oplus (\mathbb{Z}/5)^2$ です。素数ごとに指数を並べると、$2$ は $(1, 1)$, $3$ は $(1,1)$, $5$ は $(1,1)$ で、$d_2 = 2\cdot3\cdot5 = 30$, $d_1 = 2\cdot 3 \cdot 5 = 30$ となり、不変因子形は $\mathbb{Z}/30 \oplus \mathbb{Z}/30$ です。位数は $900 = 6 \cdot 10 \cdot 15$ で一致します。

演習 8.2標準

$K$ 上の $2 \times 2$ 行列 $A$ が特性多項式 $(x-1)^2$ を持ち、$A \ne I$ とする。$A$ が $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ に相似であることを、不変因子を使って示せ。

解答

不変因子は $d_1 \cdots d_s = (x-1)^2$ を満たす非定数モニック多項式で $d_1 \mid \cdots \mid d_s$ です。$s = 2$ なら $d_1 = d_2 = x - 1$ で、最小多項式 $d_2 = x - 1$ から $A - I = 0$（定理 7.2）となって $A = I$ です。仮定から $s = 1$ で、$d_1 = (x-1)^2$ です。よって $A$ は $C_{(x-1)^2} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ に相似です。不変因子が一致するので、$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$（特性多項式 $(x-1)^2$, 最小多項式 $(x-1)^2$ なので不変因子 $d_1 = (x-1)^2$）とも相似です（定理 7.2 の最後の主張）。

演習 8.3標準

$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Q}$ はねじれなしだが自由ではなく、有限生成でもないことを示せ。

解答

$\mathbb{Q}$ の 2 元 $a = p/q$, $b = r/s$ は、$(rq)\,a - (ps)\,b = pr - pr = 0$ を満たします。$a, b$ が両方 $0$ でなければ係数 $(rq, ps)$ は $(0,0)$ でないので、$a, b$ は $\mathbb{Z}$ 上一次従属です。したがって $\mathbb{Q}$ が自由なら基底は 1 元 $\{a\}$ で、$\mathbb{Q} = \mathbb{Z}a$ となりますが、$a/2 \in \mathbb{Z}a$ から $1/2 \in \mathbb{Z}$ という矛盾が出ます。有限生成でもありません。$a_1, \ldots, a_k$ が生成するなら、共通分母 $N$ により $\mathbb{Q} = \sum \mathbb{Z}a_i \subseteq \frac{1}{N}\mathbb{Z}$ ですが、$\frac{1}{2N} \notin \frac{1}{N}\mathbb{Z}$ です。構造定理で「有限生成」が必要な理由がここにあります。

参考文献

1. D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004 — Chapter 12（PID 上の加群）。
2. S. Lang, Algebra, revised 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics 211, Springer, 2002 — Chapter III（加群）。
3. M. Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011 — 加群を扱う章。
4. H. J. S. Smith, “On systems of linear indeterminate equations and congruences”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 (1861), 293–326 — スミス標準形の原論文。