数学 › 代数学（群・環・体） › 加群と PID 上の構造定理

有理標準形

定理 7.2（「加群と PID 上の構造定理」§7） ・ ✓公理まで証明済み

VV を KK 上の有限次元ベクトル空間、T:V→VT : V \to V を線形写像とする。このとき、K[x]K[x] 加群として

VT≅K[x]/(d1)⊕⋯⊕K[x]/(ds)V_T \cong K[x]/(d_1) \oplus \cdots \oplus K[x]/(d_s)

となるモニックな非定数多項式 d1∣d2∣⋯∣dsd_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s が一意に存在する（不変因子）。dsd_s は TT の最小多項式、d1⋯dsd_1 \cdots d_s は特性多項式であり、VV の適当な基底について TT の行列は diag(Cd1,…,Cds)\mathrm{diag}(C_{d_1}, \ldots, C_{d_s}) である。ここで d=xk+ck−1xk−1+⋯+c0d = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + \cdots + c_0 に対し、

Cd=(00⋯0−c010⋯0−c101⋯0−c2⋮⋱⋮00⋯1−ck−1)C_d = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{k-1} \end{pmatrix}

は dd のコンパニオン行列である。特に 2 つの行列が相似であることと、不変因子が一致することは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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