数学 › 代数学（群・環・体） › 加群と PID 上の構造定理

PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）

定理 5.1（「加群と PID 上の構造定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を PID、 $M$ を有限生成 $R$ 加群とする。このとき、 $r \ge 0$ と、 $0$ でも単元でもない $d_1, \ldots, d_s \in R$ （ $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ ）が存在して

M \cong R^r \oplus R/(d_1) \oplus \cdots \oplus R/(d_s)

となる。 $r$ と、同伴を除く $d_1, \ldots, d_s$ は $M$ によって一意に定まる。 $r$ を $M$ の階数、 $d_i$ を不変因子という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 6 件

有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
有理標準形✓定理 7.2・加群と PID 上の構造定理
局所自由層の Riemann–Roch✓命題 8.2・曲線と Riemann–Roch の定理
局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環
PID 上の平坦加群✓命題 8.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

関連するノック 3 問