Dedekind 環上の有限生成加群

命題 10.3（「離散付値環と Dedekind 環」§10）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Dedekind 環、 $K = \operatorname{Frac} A$ 、 $S = A \setminus \{0\}$ 、 $M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

$M$ が射影的であることと、 $M$ が捩れをもたないことは同値である。
$M$ が捩れをもたず $n = \dim_K S^{-1}M \ge 1$ なら、 $0$ でないイデアル $I$ により $M \cong A^{n-1} \oplus I$ である。
捩れ部分 $T(M) = \{ m \in M : \text{ある } a \ne 0 \text{ で } am = 0 \}$ について $M \cong T(M) \oplus M/T(M)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 134 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 有限表示加群の Hom と局所化✓命題 5.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
イデアルの直和✓補題 10.2・離散付値環と Dedekind 環
- 互いに素な代表✓補題 10.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Dedekind 環上の有限生成加群

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）