数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環

付値と付値環の対応

命題 2.3（「離散付値環と Dedekind 環」§2）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を体とする。

$v$ を $K$ の付値とすると、 $A_v$ は $K$ の付値環で、単元群は $\{ x : v(x) = 0 \}$ 、極大イデアルは $\{ x : v(x) > 0 \}$ である。
$A$ を $K$ の付値環とし、 $\Gamma_A = K^{\times}/A^{\times}$ に $xA^{\times} \le yA^{\times} \iff y/x \in A$ で順序を入れる。 $\Gamma_A$ は全順序アーベル群で、自然な射影 $v_A \colon K^{\times} \to \Gamma_A$ は付値であり、 $A_{v_A} = A$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 1 件

DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環