数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環

付値環の基本性質

命題 2.2（「離散付値環と Dedekind 環」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を体 $K$ の付値環とする。

$A$ のイデアルの全体は包含関係について全順序である。
$A$ は局所環であり、その極大イデアルは $\mathfrak{m}_A = \{ x \in A : x = 0 \text{ または } x^{-1} \notin A \}$ （非単元の全体）である。
$A$ の有限生成イデアルは単項イデアルである。
$A$ は $K$ の中で整閉である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 10 件

付値環は支配について極大✓補題 4.4・分離射・固有射と付値判定法
付値環は支配について極大✓補題 2.1・曲線と Riemann–Roch の定理
曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環
整閉包は付値環の共通部分✓系 2.5・離散付値環と Dedekind 環
DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
Noether 付値環と Noether Prüfer 整域✓系 5.2・離散付値環と Dedekind 環
Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環