数学 › 可換環論 › 離散付値環と Dedekind 環
Noether 付値環と Noether Prüfer 整域
- Noether 付値環は体か DVR である。
- 体でない Noether 整域 について、 が Prüfer 整域であることと Dedekind 環であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 138 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域 この先をたどる →
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大 この先をたどる →
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。