次元と高さの基本性質

命題 2.3（「Krull 次元と単項イデアル定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A \ne 0$ を環、 $\mathfrak{p}$ を素イデアルとする。

$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = \dim A_{\mathfrak{p}}$ である。
$\mathfrak{p}$ の余高さは $\dim A/\mathfrak{p}$ に等しい。
$\operatorname{ht}\mathfrak{p} + \dim A/\mathfrak{p} \le \dim A$ である。
$\dim A = \sup\{\operatorname{ht}\mathfrak{m} : \mathfrak{m} \text{ は極大イデアル}\} = \sup\{\dim A/\mathfrak{q} : \mathfrak{q} \text{ は極小素イデアル}\}$ である。とくに $(A, \mathfrak{m})$ が局所環なら $\dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
- イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
  - 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
- 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
    体定義 5.1・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 15 件

次元と局所環✓補題 2.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
高さと余次元の和✓補題 3.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
CM 性の局所化✓命題 3.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
非混合定理✓定理 3.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
CM 環は鎖状✓定理 4.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環
Jacobi 判定法と正則環✓系 9.5・Kähler 微分と滑らかさの入口
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理
アフィン整域の鎖状性✓定理 7.4・Krull 次元と単項イデアル定理
体上有限生成代数は鎖状✓系 7.5・Krull 次元と単項イデアル定理

次元と高さの基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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