数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

CM 環は鎖状

定理 4.2（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 130 件、定義なども含めて 150 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理

    • Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
• CM 性の局所化✓命題 3.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
    • 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
    • Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 高さと余次元の和✓補題 3.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • Krull 次元・高さ・余高さ定義 2.1・Krull 次元と単項イデアル定理
    • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  • 正則列で割った環✓命題 3.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • CM 局所環の随伴素イデアル✓補題 3.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環（上で展開済み）
• 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
• 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
• 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• CM 環は普遍鎖状✓系 4.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環