数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環
パラメータ系と正則列
を Noether 局所環、 とする。
- 次は同値である。(a) は CM である。(b) のすべてのパラメータ系は正則列である。(c) のあるパラメータ系は正則列である。
- が CM なら、 について、 が正則列であることと であることは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 146 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ
- 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
- 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- Krull 次元・高さ・余高さ定義 2.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
CM 局所環の随伴素イデアル✓補題 3.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
正則列で割った環✓命題 3.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 7 件
- 局所完全交叉の双対化層✓定理 7.3・Ext 層と Serre 双対
- CM 性の局所化✓命題 3.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 非混合定理✓定理 3.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- CM 環上の多項式環✓定理 4.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則局所環は CM✓系 6.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口