Noether 局所環の次元

定理 5.2（「Krull 次元と単項イデアル定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。このとき

\dim A = \delta(A) \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 < \infty

である。とくに $A$ のパラメータ系が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 90 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

高さと余次元の和✓補題 3.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理

Noether 局所環の次元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

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