極小生成系の個数

系 3.6（「加群・完全列・中山の補題」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を局所環、 $M$ を有限生成 $A$ 加群とする。 $M/\mathfrak{m}M$ は有限次元 $k$ ベクトル空間であり、 $M$ の生成系 $m_1, \ldots, m_n$ でどの真部分集合も $M$ を生成しないもの（極小生成系）について、像 $\bar m_1, \ldots, \bar m_n$ は $M/\mathfrak{m}M$ の基底をなす。とくに極小生成系の元の個数は $\dim_k M/\mathfrak{m}M$ に等しく、生成系の取り方によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
  - 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

非特異性と Ω の局所自由性✓定理 7.3・次元・正規性・非特異性と微分の層
正則局所環は CM✓系 6.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
極小自由分解の存在✓命題 3.6・Tor・Ext と深さ
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ

極小生成系の個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件