極小自由分解の存在

命題 3.6（「Tor・Ext と深さ」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、 $M$ を有限生成 $A$ 加群とする。 $M$ の極小自由分解が存在する。より詳しく、 $F_n \to K_n$ （ $K_n$ は第 $n$ syzygy）が $K_n$ の極小生成系に基底を写すように選べば極小自由分解になり、このとき $K_{n+1} \subseteq \mathfrak{m}F_n$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環

これを使っている定理証明で参照している 2 件

射影次元の次数の Ext は消えない✓補題 6.2・Ext 層と Serre 双対
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ

極小自由分解の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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