中山の補題

定理 3.5（「加群・完全列・中山の補題」§3）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を有限生成 $A$ 加群、 $\mathfrak{a}$ を Jacobson 根基 $\operatorname{Jac}(A)$ に含まれるイデアルとする。

$\mathfrak{a}M = M$ ならば $M = 0$ である。
$N \subseteq M$ が部分加群で $M = N + \mathfrak{a}M$ ならば $M = N$ である。
$(A, \mathfrak{m}, k)$ が局所環で、 $m_1, \ldots, m_n \in M$ の $M/\mathfrak{m}M$ での像が $k$ ベクトル空間 $M/\mathfrak{m}M$ を生成するならば、 $m_1, \ldots, m_n$ は $M$ を生成する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
    多項式環定義 6.1・環と体の基礎
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 22 件

連接層の台と中山の補題✓補題 7.2・準連接層・連接層と直線束
局所環の準同型の全射性✓補題 5.4・因子と直線束
豊富性の判定法✓定理 6.4・因子と直線束
素元の微分は生成元✓補題 2.1・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
1 点の爆発✓定理 7.3・曲面上の交叉理論
短完全列と深さ✓補題 2.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
体上のエタール代数の特徴づけ✓定理 8.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題
Noether 局所環が Artin になる条件✓系 6.5・Noether 環と Artin 環
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ
射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さ
正則列の並べ替え✓命題 7.7・Tor・Ext と深さ
深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ
普遍変形環の生成元の個数✓命題 4.4・フェルマーの最終定理 II
判定法の自明な場合✓補題 6.4・フェルマーの最終定理 II

中山の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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