数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式

零因子でない元で割ると d が下がる

補題 5.4（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 59 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
• 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

  • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題

    • 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題

      • 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
      • 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

  • 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環

    • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  • 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環

    • 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環

      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
      • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
    • Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環

      • 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
      • 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題

    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

      • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
      • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
      • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
      • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

      • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  • Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
    • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式