数値多項式の基本性質

補題 3.2（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k \ge 1$ について $\binom{X+1}{k} - \binom{X}{k} = \binom{X}{k-1}$ である。整数 $N \ge 0$ について、 $\binom{X}{k}$ の $X = N$ での値は二項係数 $\binom{N}{k}$ に等しい。 $\binom{X}{0}, \binom{X}{1}, \ldots$ は $\mathbb{Q}[X]$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底である。
$P$ が数値多項式なら、整数 $c_k$ により $P = \sum_k c_k\binom{X}{k}$ と書ける。とくにすべての整数 $n$ で $P(n) \in \mathbb{Z}$ である。また、十分大きいすべての整数 $n$ で $P(n) = 0$ なら $P = 0$ である。
$f\colon \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z}$ を関数、 $P$ を数値多項式とし、ある $n_0$ 以上のすべての $n$ で $f(n+1) - f(n) = P(n)$ であるとする。このとき数値多項式 $Q$ で、 $n \ge n_0$ で $f(n) = Q(n)$ 、かつ $\Delta Q = P$ となるものがある。 $P = 0$ なら $Q$ は定数で、 $P \ne 0$ が次数 $e$ 、最高次の係数 $c$ なら、 $Q$ は次数 $e + 1$ 、最高次の係数 $c/(e+1)$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。