重複度の基本性質

命題 5.6（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{q}, \mathfrak{q}'$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、 $M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、 $d = d(M)$ とする。

$e(\mathfrak{q}, M)$ は正の整数である。
$r \ge 1$ について $e(\mathfrak{q}^r, M) = r^d\,e(\mathfrak{q}, M)$ である。
$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}'$ なら $e(\mathfrak{q}, M) \ge e(\mathfrak{q}', M)$ である。
$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ が完全なら $e(\mathfrak{q}, M) = e_d(\mathfrak{q}, M') + e_d(\mathfrak{q}, M'')$ である。ここで $e_d(\mathfrak{q}, N)$ は、 $N \ne 0$ かつ $d(N) = d$ なら $e(\mathfrak{q}, N)$ 、それ以外なら $0$ とする。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 59 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - (1 − t) の負冪の展開✓補題 4.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
  - 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
  - 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 安定性と Rees 加群の有限生成性✓補題 4.2・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

重複度の基本性質

閉包の状態

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