正則性と随伴次数環

定理 6.2（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、 $e = \operatorname{edim} A$ 、 $\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_e)$ とする。 $A$ が正則であることと、 $\varphi_{\mathfrak{m}}\colon k[X_1, \ldots, X_e] \to \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ が同型であることは同値である。このとき $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ は $k$ 上の $\dim A$ 変数の多項式環で、重複度は $e(A) = 1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 133 件、定義なども含めて 154 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 準素性の判定✓命題 4.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
- 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - Krull 次元・高さ・余高さ定義 2.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 重複度定義 5.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 正則列と随伴次数環✓補題 5.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環
- 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
- 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
- Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

正則性と随伴次数環

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件