多項式環の次数・整域性・単元

定理 6.2（「環と体の基礎」§6）・ ✓公理まで証明済み

$R$ を整域とする。このとき次が成り立つ。

(1) $f, g \in R[x]$ がともに $0$ でなければ $fg \ne 0$ であり、 $\deg(fg) = \deg f + \deg g$ 。

(2) $R[x]$ は整域である。

(3) $R[x]^{\times} = R^{\times}$ 。すなわち $R[x]$ の単元は $R$ の単元である定数多項式に限る。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。