数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

除法の原理と根の個数

補題 2.1（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§2）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を体とする。

$a, b \in K[x]$ 、 $b \ne 0$ に対し、 $a = sb + r$ 、 $\deg r < \deg b$ （または $r = 0$ ）を満たす $s, r \in K[x]$ がただ 1 組ある。
$f \in K[x]$ と $\beta \in K$ について、 $f(\beta) = 0$ であることと $x - \beta$ が $f$ を割り切ることは同値である。
$0$ でない $f \in K[x]$ の相異なる根は $\deg f$ 個以下である。とくに、次数が $d$ 以下の多項式が $d + 1$ 個の相異なる点で $0$ になれば、零多項式である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
- 体定義 5.1・環と体の基礎
- 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎

これを使っている定理証明で参照している 5 件

符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
Reed–Solomon 符号は MDS 符号✓定理 5.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
Berlekamp–Welch の復号✓定理 6.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
鍵方程式✓補題 6.4・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
多項式の拡張 Euclid の互除法✓補題 6.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

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