数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

符号語は零点で消える多項式

命題 4.2（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 65 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 巡回符号とイデアル✓定理 3.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  • $x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式

    • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大

      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
    • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類

      • 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
      • 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
      • ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
    • 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造

      • 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
      • 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
      • ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解 この先をたどる →
      • 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門（上で展開済み）
      • オイラー関数定義 7.1・整除と素因数分解
      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
    • 位数の基本性質✓補題 2.2・原始根と平方剰余の相互法則

      • 互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
      • ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理 この先をたどる →
    • 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門

      • 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
    • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
    • 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
    • 最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式

      • 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造 この先をたどる →
  • PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大

    • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
• 除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎

    • 体定義 5.1・環と体の基礎
    • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

• BCH 限界✓定理 4.4・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
• BCH 符号の次元✓命題 4.6・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
• Hamming 符号は巡回符号✓命題 4.8・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
• 評価による定義と BCH 符号としての定義の一致✓定理 5.4・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
• 平方剰余符号の双対と拡大符号✓補題 5.4・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号
• 平方剰余符号の最小重み語の評価✓補題 5.5・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

関連するノック 2 問

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• 有限体と符号 第 36 問