数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

Hamming 符号は巡回符号

命題 4.8（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 88 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式

  • 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

      • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造

      • 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
      • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
    • 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造

      • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
      • 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
      • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
      • 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
      • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
      • 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造 この先をたどる →
      • 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造 この先をたどる →
      • 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造 この先をたどる →
    • q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造 この先をたどる →
    • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
    • 既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造 この先をたどる →
    • $x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
• 符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 巡回符号とイデアル✓定理 3.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    • $x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式 この先をたどる →
    • PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
    • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎 この先をたどる →
• Hamming 符号と単体符号✓定理 6.2・線形符号

  • 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換

    • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
  • 最小距離と検査行列の列✓定理 3.7・線形符号

    • 最小距離は最小重み✓命題 3.2・線形符号 この先をたどる →
  • Hamming 限界（球充填限界）✓定理 5.4・線形符号

    • 最小距離と誤り検出・誤り訂正✓定理 2.4・線形符号 この先をたどる →
    • Hamming 球の体積✓補題 5.2・線形符号 この先をたどる →
  • 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号

    • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間 この先をたどる →
    • 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
    • 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間 この先をたどる →
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。