最小距離と誤り検出・誤り訂正

$C$ を最小距離 $d$ の符号とし、$t = \lfloor (d - 1)/2 \rfloor$ とする。$\boldsymbol{c} \in C$、$\boldsymbol{y} \in \mathbb{F}_q^n$ とする。

1. （検出）$1 \le d(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}) \le d - 1$ ならば $\boldsymbol{y} \notin C$ である。
2. （訂正）$d(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}) \le t$ ならば、$\boldsymbol{c}$ 以外のすべての符号語 $\boldsymbol{c}'$ について $d(\boldsymbol{c}', \boldsymbol{y}) > t \ge d(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y})$ である。したがって最小距離復号は $\boldsymbol{c}$ を出力する。
3. （限界）$d(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}) = d$ かつ $\boldsymbol{y} \in C$ となる $\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}$ が存在する。また、$d(\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}) = t + 1$ かつ、ある符号語 $\boldsymbol{c}' \ne \boldsymbol{c}$ について $d(\boldsymbol{c}', \boldsymbol{y}) \le t + 1$ となる $\boldsymbol{c}, \boldsymbol{y}$ が存在する。