数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
BCH 限界
、 を 1 の原始 乗根、 とする。巡回符号 の定義集合が、ある整数 について連続する 個の指数 （ を法として）を含むならば、 の でない符号語の重みは 以上である。すなわち 。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 72 件、定義なども含めて 83 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造 この先をたどる →
- 位数の基本性質✓補題 2.2・原始根と平方剰余の相互法則 この先をたどる →
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
- 最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式 この先をたどる →
PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
- 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
Vandermonde 行列式✓補題 2.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号
- 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
- 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 二元 Golay 符号✓定理 5.7・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号
- 三元 Golay 符号✓定理 5.11・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号