数学 › 有限体と符号 › 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

三元 Golay 符号

定理 5.11（「重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 89 件、定義なども含めて 102 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 平方剰余符号の双対と拡大符号✓補題 5.4・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

  • オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則

    • 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則
  • 双対符号の定義集合✓系 4.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 巡回符号の双対符号✓定理 3.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

      • 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号（上で展開済み）
      • 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号（上で展開済み）
  • 符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

      • 巡回符号とイデアル✓定理 3.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号 この先をたどる →
      • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
      • $x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式 この先をたどる →
      • PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

      • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
      • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎 この先をたどる →
  • 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号

    • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間

      • 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
    • 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換

      • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
    • 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間

      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
      • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換

      • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
• BCH 限界✓定理 4.4・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号（上で展開済み）
  • Vandermonde 行列式✓補題 2.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
    • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質（上で展開済み）
  • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質

    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質

    • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
• Hamming 限界（球充填限界）✓定理 5.4・線形符号

  • 最小距離と誤り検出・誤り訂正✓定理 2.4・線形符号

    • Hamming 距離は距離✓命題 2.2・線形符号
  • Hamming 球の体積✓補題 5.2・線形符号

    • 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 拡大三元 Golay 符号と Steiner 系 S(5, 6, 12)✓系 7.4・有限幾何とデザイン
• 拡大三元 Golay 符号の重み多項式✓系 5.12・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

関連するノック 1 問

• 有限体と符号 第 43 問