数学 › 有限体と符号 › 重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号

平方剰余符号の双対と拡大符号

補題 5.4（「重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 74 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則

  • 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則
• 双対符号の定義集合✓系 4.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 巡回符号の双対符号✓定理 3.5・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号（上で展開済み）
    • 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号（上で展開済み）
• 符号語は零点で消える多項式✓命題 4.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

  • 生成多項式と巡回符号の分類✓定理 3.3・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 巡回符号とイデアル✓定理 3.2・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
    • $x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式

      • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
      • 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造 この先をたどる →
      • 位数の基本性質✓補題 2.2・原始根と平方剰余の相互法則 この先をたどる →
      • 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
      • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
      • 位数による冪の判定✓定理 6.3・群論入門
      • 最小多項式と共役元✓定理 2.2・有限体上の多項式 この先をたどる →
    • PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大

      • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  • 除法の原理と根の個数✓補題 2.1・巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

    • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
    • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎

      • 体定義 5.1・環と体の基礎
      • 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
• 双対符号の次元と検査行列✓定理 3.5・線形符号

  • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間

    • 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
  • 有限次元での単射・全射・全単射の一致✓系 7.5・ベクトル空間と線形変換

    • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換

      • 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
    • 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換

      • 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
      • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
  • 零化空間定義 3.3・双対空間と商空間
  • 零化空間の次元公式✓定理 3.4・双対空間と商空間

    • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
    • 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間（上で展開済み）
  • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換

    • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換

      • 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
    • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換

      • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

• 二元 Golay 符号✓定理 5.7・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号
• 拡大 Golay 符号の重み多項式✓系 5.8・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号
• 三元 Golay 符号✓定理 5.11・重み多項式と MacWilliams 恒等式・Golay 符号