数学 › 数論 › 原始根と平方剰余の相互法則

位数の基本性質

補題 2.2（「原始根と平方剰余の相互法則」§2）・ ✓公理まで証明済み

$d=\mathrm{ord}_n(a)$ とする。

$a^k\equiv1\pmod n\iff d\mid k$ 。特に $d\mid\varphi(n)$ （ $n=p$ が素数なら $d\mid p-1$ ）。
$\gcd(j,d)=g$ のとき $\mathrm{ord}_n(a^j)=d/g$ 。特に $a^j$ の位数が $d$ になるのは $\gcd(j,d)=1$ のとき、かつそのときに限る。
$a^0,a^1,\ldots,a^{d-1}$ は $n$ を法として互いに合同でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

互いに素な商✓補題 2.3・整除と素因数分解
ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
- ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
  - 除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理
    整列性公理 3.1・証明の技術

これを使っている定理証明で参照している 3 件

$x^n − 1$ の有限体上の分解✓定理 2.4・有限体上の多項式
素数を法とする原始根の存在✓定理 2.5・原始根と平方剰余の相互法則
素数べきと 2 × 素数べきの原始根✓定理 2.8・原始根と平方剰余の相互法則

関連するノック 5 問