数学 › 有限体と符号 › 巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号

Berlekamp–Welch の復号

定理 6.1（「巡回符号・BCH 符号・Reed–Solomon 符号」§6） ・ ✓公理まで証明済み

C=RSk(a)C = \mathrm{RS}_k(a)、t=⌊(n−k)/2⌋t = \lfloor (n-k)/2 \rfloor とする。f∈Fq[x]f \in \mathbb{F}_q[x]、deg⁡f<k\deg f < k に対する符号語 c=(f(ai))ic = (f(a_i))_i と、wt⁡(e)≤t\operatorname{wt}(e) \le t を満たす e∈Fqne \in \mathbb{F}_q^n について、y=c+ey = c + e とおく。未知の多項式

E(x)=∑j=0tEjxj,Q(x)=∑j=0k+t−1QjxjE(x) = \sum_{j=0}^{t} E_j x^j, \qquad Q(x) = \sum_{j=0}^{k+t-1} Q_j x^j

の係数 (E0,…,Et,Q0,…,Qk+t−1)(E_0, \ldots, E_t, Q_0, \ldots, Q_{k+t-1}) についての斉次連立一次方程式

Q(ai)=yi E(ai)(1≤i≤n)Q(a_i) = y_i\, E(a_i) \qquad (1 \le i \le n)

を考える。

  1. この方程式は 00 でない解をもつ。
  2. 00 でない解 (E,Q)(E, Q) はどれも E≠0E \ne 0 で、EE は QQ を割り切り、Q/E=fQ/E = f である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。