数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

正則局所環は整域

定理 6.3（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 134 件、定義なども含めて 156 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

    • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

      • 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
    • 深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
    • 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
    • 重複度定義 5.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    • Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
    • 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    • 正則列と随伴次数環✓補題 5.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
    • パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    • Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環

    • 加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
    • 次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
    • 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  • 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

    • δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
    • Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
    • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
    • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
    • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
    • 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
• 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
• 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題

  • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • Krull の交叉定理✓定理 5.1・完備化と Artin–Rees の補題

    • Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 随伴次数加群定義 2.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 非特異な部分多様体の余法層と随伴公式✓定理 9.1・次元・正規性・非特異性と微分の層
• 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• Serre の判定法✓定理 9.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環