数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）

定理 8.5（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 184 件、定義なども含めて 211 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 15 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
  • 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
  • 随伴次数加群定義 2.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • 正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環（上で展開済み）
  • 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
• 永田の判定法（素元一つの場合）✓補題 8.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環（上で展開済み）
  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 局所環と整域での交叉定理✓系 5.2・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
• Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
• 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 局所化と射影次元・Ext✓補題 2.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
  • 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環（上で展開済み）
• 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

  • 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  • ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
  • イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
• 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
• 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環

  • 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
  • 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  • 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 この先をたどる →
  • 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
• Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
• 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さ この先をたどる →
• 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
• 有限自由分解をもつ射影加群✓補題 8.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →
• 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換

  • 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
• 安定的に自由な可逆イデアルは単項✓補題 8.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Weil 因子と Cartier 因子の一致✓定理 4.2・因子と直線束

関連するノック 2 問

• 可換環論 第 92 問
• 可換環論 第 95 問