Serre の正則性定理

定理 7.1（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§7）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。次は同値である。

$A$ は正則局所環である。
$\operatorname{gldim} A < \infty$ である。
$\operatorname{pd}_A k < \infty$ である。

このとき $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd}_A k = \dim A = \operatorname{depth} A$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 161 件、定義なども含めて 187 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 16 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Noether 局所環の大域次元✓系 6.5・Tor・Ext と深さ
- 大域次元は巡回加群で決まる✓補題 6.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor の平衡性✓定理 4.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
正則局所環は CM✓系 6.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- パラメータ系と正則列✓定理 3.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
Koszul 複体は極小自由分解✓命題 2.6・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則列の Koszul 複体✓定理 8.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Koszul 複体定義 8.1・Tor・Ext と深さ
- 極小自由分解定義 3.5・Tor・Ext と深さ
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Noether 局所環の大域次元✓系 6.5・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
Auslander–Buchsbaum の公式✓定理 9.1・Tor・Ext と深さ
- 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 平坦性の Tor 判定✓命題 5.1・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 極小自由分解の存在✓命題 3.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ
- ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
素でないイデアルを一つ含む素イデアル回避✓補題 2.7・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
射影次元と Ext の消滅✓補題 6.2・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
環を変える補題✓補題 2.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
直和の射影次元✓補題 2.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口

Serre の正則性定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 16 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 16 件）

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