Koszul 複体

$x = (x_1, \ldots, x_n) \in A^n$ とする。$p = 0, \ldots, n$ について、$K_p(x)$ を $\{1, \ldots, n\}$ の $p$ 元部分集合 $S$ を添字とする基底 $e_S$ をもつ自由加群（階数 $\binom{n}{p}$）とし、$p < 0$、$p > n$ では $K_p(x) = 0$ とする。$S = \{ s_1 < \cdots < s_p \}$ について

で $d\colon K_p(x) \to K_{p-1}(x)$ を定める（$p = 0$ では $d = 0$）。これを $x$ の Koszul 複体という。$A$ 加群 $M$ について $K(x; M) = K(x) \otimes M$、$H_p(x; M) = H_p(K(x; M))$ と書く。