数学 › 可換環論 › Cohen–Macaulay 環と正則局所環

Koszul 複体は極小自由分解

命題 2.6（「Cohen–Macaulay 環と正則局所環」§2） ・ ✓公理まで証明済み

(A,m,k)(A, \mathfrak{m}, k) を Noether 局所環、x1,…,xn∈mx_1, \ldots, x_n \in \mathfrak{m} を正則列とする。Koszul 複体 K(x)→A/(x1,…,xn)K(x) \to A/(x_1, \ldots, x_n) は極小自由分解であり、pd⁡A/(x1,…,xn)=n\operatorname{pd} A/(x_1, \ldots, x_n) = n、dim⁡kTor⁡i(A/(x1,…,xn),k)=(ni)\dim_k \operatorname{Tor}_i(A/(x_1, \ldots, x_n), k) = \binom{n}{i} である。とくに m=(x1,…,xn)\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n) なら gldim⁡A=pd⁡k=n\operatorname{gldim} A = \operatorname{pd} k = n である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 51 件、定義なども含めて 60 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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