射影分解・自由分解・入射分解

$M$ を $A$ 加群とする。

1. 複体 $P_\bullet$（$n < 0$ で $P_n = 0$）と準同型 $\varepsilon\colon P_0 \to M$ の組で、各 $P_n$ が射影加群であり、列 $\cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} M \to 0$ が完全なものを $M$ の射影分解といい、$P_\bullet \to M$ と書く。各 $P_n$ が自由加群のとき自由分解という。$P_n \ne 0$ となる $n$ の上限を分解の長さという。
2. $K_0 = M$、$n \ge 1$ について $K_n = \operatorname{Im} d_n = \ker d_{n-1}$（$d_0 = \varepsilon$）を $M$ の（この分解に関する）第 $n$ syzygy（第 $n$ 次の関係加群）という。$0 \to K_{n+1} \to P_n \to K_n \to 0$ は完全である。
3. 複体 $0 \to E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} \cdots$ と準同型 $\eta\colon M \to E^0$ の組で、各 $E^n$ が入射加群であり、$0 \to M \xrightarrow{\eta} E^0 \to E^1 \to \cdots$ が完全なものを $M$ の入射分解という。