数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ

射影次元と Ext の消滅

補題 6.2（「Tor・Ext と深さ」§6）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を $A$ 加群、 $n \ge 0$ とする。次は同値である。

$\operatorname{pd} M \le n$ 。
すべての $A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}(M, N) = 0$ 。
$M$ のある射影分解（同じことだが任意の射影分解）について、第 $n$ syzygy $K_n$ は射影的である。

このとき、すべての $i > n$ と $N$ について $\operatorname{Tor}_i(M, N) = 0 = \operatorname{Ext}^i(M, N)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さ
  - 射影加群定義 3.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
射影分解・自由分解・入射分解定義 3.1・Tor・Ext と深さ
次元ずらし✓補題 4.4・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
  - Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
    テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
直和の射影次元✓補題 2.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
大域次元は巡回加群で決まる✓補題 6.4・Tor・Ext と深さ

射影次元と Ext の消滅

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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