比較定理

$P_\bullet$ を各 $P_n$ が射影加群の複体（$n < 0$ で $P_n = 0$）、$\varepsilon_P\colon P_0 \to M$ を $\varepsilon_P d_1 = 0$ を満たす準同型とする。$Q_\bullet \to N$ を $N$ の分解（$\cdots \to Q_1 \to Q_0 \xrightarrow{\varepsilon_Q} N \to 0$ が完全。$Q_n$ は射影的でなくてよい）とし、$f\colon M \to N$ を準同型とする。

1. 鎖写像 $\varphi\colon P_\bullet \to Q_\bullet$ で $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ を満たすもの（$f$ の持ち上げ）が存在する。
2. $f$ の二つの持ち上げ $\varphi, \psi$ はホモトピックである。