数学 › 可換環論 › Tor・Ext と深さ
Tor の平衡性
を 加群、 を の任意の射影分解とする。すべての について である。とくに である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 30 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Hom による完全性の判定✓補題 2.7・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
- ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題 この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さ
- 蛇の補題✓補題 4.1・加群・完全列・中山の補題
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 環を変える補題✓補題 2.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- Noether 局所環の大域次元✓系 6.5・Tor・Ext と深さ